Segunda subasta de precios: ajuste del PDF para el precio de reserva

Question

La situación:

Existe una subasta de segundo precio con 2 jugadores. Consideremos una subasta de segundo precio con 2 jugadores. Sus valoraciones del objeto en la subasta son y están distribuidas de forma independiente e idéntica con pdf $f$ y cdf $F$ . en $[0,\hat v]$ . Supongamos que $f$ es continua y positiva sobre $[0,\hat v]$ .

Ahora viene la pregunta: una oferta de reserva $r$ se implementa ahora: el ganador paga la segunda de las ofertas más altas, incluido el precio de reserva, o si ambos pujan más bajo nadie gana. Quiero encontrar el pdf que ambas pujas son superiores $r$ y por encima de algunos $x$ y añadirlo a una ecuación que calcule los ingresos esperados para el subastador.

Ya he encontrado el pdf de ambas ofertas por encima de algún valor de $x$ : $2f(x)(1-F(x))$ . El pdf de ambos está por encima de $r$ es $(1-F(r))^2$ .

He echado un vistazo a una respuesta para el problema, y sugiere que el pdf combinado es $\frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}$ . ¿Podría alguien explicarme cómo es esto?

Entonces, al calcular los ingresos esperados para el subastador, tenemos para el caso en que ambas pujas estén por encima de $r$ : $(1-F(r))^2\int_r^\hat v{\frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}}dx$ . También estoy bastante confundido por qué multiplicamos por $(1-F(r))^2$ .

Answer 1

Para hallar los ingresos esperados del vendedor en una subasta de segundo precio con precio reservado compuesta por dos postores que ofertan sus valoraciones en equilibrio, hacemos lo siguiente :

Dado que las valoraciones son i.i.d con pdf $f$ y CDF $F$ en $[0, \hat{v}]$ Los ingresos que obtiene el vendedor para diferentes realizaciones de las valoraciones de los jugadores son los indicados en el gráfico siguiente:

Por lo tanto, los ingresos esperados del vendedor son : \begin && \int_r ^ \hat {v} \int_r ^{v_2} v_1 f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 + \int_r ^ \hat {v} \int_ {v_2}^ \hat {v} v_2 f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 \\ &&+ \int_0 ^r \int_r ^ \hat {v} r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 + \int_r ^ \hat {v} \int_0 ^r r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 \\ &=& \int_r ^ \hat {v}v_1 (1-F(v_1))f(v_1)dv_1 + \int_r ^ \hat {v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 + 2rF(r)(1-F(r)) \\ &=& 2 \int_r ^ \hat {v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 + 2rF(r)(1-F(r)) \end {eqnarray*}

Answer 2

Creo que la primera parte de tu pregunta debe pedir una probabilidad condicional. En otras palabras, para $v_1$ y $v_2$ que representan las valoraciones del jugador 1 y del jugador 2, se nos debería haber pedido la derivación (es decir, la densidad) de la siguiente probabilidad:

$$Pr( v_1>x \land v_2>x \;|\; r<v_1 \land r<v_2) $$ Por lo tanto, es igual a: $$\frac{d\left( \frac{(1-F(x))^2}{(1-F(r))^2} \right)}{dx} = \frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}$$

De sus palabras, sin embargo, se deduce que lo que pide es la derivación (por tanto la densidad) de la siguiente probabilidad:

$$Pr(v_1>max(r,x) \;\land\; v_2>max(x,r))$$ Pero, suponiendo que wlog x>r, esto es simplemente igual a $\frac{d\left( (1-F(x))^2 \right)}{dx} = 2f(x)(1-F(x))$ Así que no hay lugar para $r$ ya que si $v_1$ y $v_2$ son más ricas que $x$ y $x$ es mayor que $r$ entonces $v_i$ > $x$ implica $v_i$ > $r$ para $i=1,2$ . Así que no es necesario molestarse con $r$ en este caso. Pero no creo que su pregunta pida esto.

En cuanto a la última parte de su pregunta, vuelvo a sospechar si no hay ningún requisito para $v_1$ y $v_2$ sea mayor que $x$ . Si la única restricción para ellos es ser más alto que el precio de reserva $r$ Entonces Amit ha dado una respuesta muy buena, excepto que $v_1$ o $v_2$ no puede obtener ningún valor inferior a $r$ en equilibrio, por lo que en sus cálculos las integrales $\int_0^r\int_r^\hat{v} r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2$ y $ \int_r^\hat{v}\int_0^r r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 $ son inútiles. Cuando eliminamos estas dos integrales, obtenemos la respuesta $2\int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 $ (puede sustituir la variable $v_2$ por $x$ aquí para obtener un resultado idéntico con su respuesta).