Cuál es el precio del Libor a partir de t para el período $t$ a $t+\delta t$

Question

Me preguntaron esto en una entrevista.

La respuesta correcta, me dijeron, se desprende de este argumento

Dejemos que $L_0[0,t]$ denota el precio del Libor en el tiempo 0 para el periodo $0$ a $t$ .

Dejemos que $L_0[t,t+\delta_t]$ denota el precio del Libor en el tiempo 0 para el periodo $t$ a $t+\delta t$

$(1+L_0[0,t])^{-1}$ el dólar hoy en día vale $1$ dólar en el momento $t$ por lo que $1+L_0[t,t+\delta_t]$ dólar en el momento $t+\delta t$

Así que la respuesta correcta debería ser $(1+L_0[0,t])^{-1}-(1+L_0[0,t+\delta t])^{-1}$ descontando el 1 dólar extra al tiempo 0.

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Lo entiendo, pero pensé que

$1$ El dólar de hoy vale $1+L_0[0,t]$ dólar en el momento $t$ Por lo tanto $(1+L_0[0,t])(1+L_0[t,t+\delta_t])$ dólar en el momento $t+\delta t$

Eso debería ser lo mismo que invertir 1 dólar durante el período 0 a $t+\delta t$ . Esto debería ser $1+L_0[0,t+\delta t]$ . La equiparación de estos da una respuesta diferente.

$(1+L_0[0,t])(1+L_0[t,t+\delta_t])= 1+L_0[0,t+\delta t]$

Esto da $L_0[t,t+\delta_t] = (1+L_0[0,t+\delta t])(1+L_0[0,t])^{-1} - 1$

Esto está fuera por un factor de $1+L_0[0,t+\delta t]$ . ¿por qué es así? ¿qué me he perdido?

Answer 1

La respuesta $$(1+L_0[0,t])^{-1}-(1+L_0[0,t+\delta t])^{-1}$$ es incorrecto .

Tenga en cuenta que, como $(1+L_0[0,t])^{-1}$ valor en dólares de la dama $1+L_0[t, t+\delta t]$ en el momento $t+\delta t$ y $(1+L_0[0,t+\delta t])^{-1}$ el dólar de hoy vale 1 dólar en su momento $t+\delta t$ Por lo tanto, $$(1+L_0[0,t])^{-1}-(1+L_0[0,t+\delta t])^{-1}$$ dólar de hoy vale $L_0[t, t+\delta t]$ en el momento $t+\delta t$ entonces \begin{align*} (1+L_0[0,t])^{-1}-(1+L_0[0,t+\delta t])^{-1} &= L_0[t, t+\delta t] P_0(t+\delta t)\\ &=L_0[t, t+\delta t] (1+L_0[0,t+\delta t])^{-1}. \end{align*} Eso es, \begin{align*} L_0[t, t+\delta t] = (1+L_0[0,t+\delta t])(1+L_0[0,t])^{-1} - 1, \end{align*} que es lo mismo que tu respuesta en la segunda parte.

EDITAR:

En este caso, se supone que $L(0, t) = \frac{1}{P_0(t)}-1$ , donde $P_0(t)$ es el precio en el momento $0$ de un bono de cupón cero con vencimiento $t$ y el valor nominal de la unidad.