Como has observado, se trata de una EDO de tipo Riccati y, por lo tanto, puede simplificarse utilizando las transformaciones estándar para esta clase, véase, por ejemplo Wikipedia . Empezamos por definir
\begin {Edición} C(t, T) = \frac {1}{2} \alpha B(t, T) \qquad \Rightarrow \qquad C_t(t, T) = \frac {1}{2} \alpha B_t(t, t) \end {Ecuación}
y obtener
\begin {eqnarray} C_t(t, T) & = & C^2(t, T) + \gamma C(t, T) - \frac {1}{2} \alpha. \end {eqnarray}
Ahora fijamos
\begin {eqnarray} C(t, T) = - \frac {D_t(t, T)}{D(t, T)} \qquad \Rightarrow \qquad C_t(t, T) & = & - \frac {D_{tt}(t, T)}{D(t, T)} + \frac {D_t^2(t, T)}{D^2(t, T)} \\ & = & \frac {-D_{tt}(t, T)}{D(t, T)} + C^2(t, T) \end {eqnarray}
y obtener
\begin {eqnarray} \frac {D_{tt}(t, T)}{D(t, T)} & = & C^2(t, T) - C_t(t, T) \\ & = & - \gamma C(t, T) + \frac {1}{2} \alpha\\ & = & \gamma \frac {D_t(t, T)}{D(t, T)} + \frac {1}{2} \alpha \end {eqnarray}
o
\begin D_{tt}(t, T) D_{tt}(t, T) = \gamma D_t(t, T) + \frac {1}{2} \alpha D(t, T). \end {Ecuación}
Se trata de una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes y puede resolverse mediante métodos estándar. Observamos que $T$ y hacer otra sustitución definiendo $\tau = T - t$ tal que $E(\tau) = D(t, T)$ . Obtenemos
\begin {equation} E_{ \tau \tau }( \tau ) + \gamma E_ \tau ( \tau ) - \frac {1}{2} \alpha E( \tau ) = 0. \end {Ecuación}
La ecuación característica es
\begin {Ecuación} r^2 + \gamma r - \frac {1}{2} \alpha = 0 \end {Ecuación}
con soluciones
\begin {equation} r_{1, 2} = - \frac {1}{2} \gamma \pm\frac {1}{2} \sqrt { \gamma ^2 + 2 \alpha } := \beta \pm \lambda. \end {Ecuación}
Tenga en cuenta que $\lambda = \frac{1}{2} \psi_1$ en su anotación. Así tenemos la solución general
\begin {Ecuación} E( \tau ) = c_1 e^{( \beta + \lambda ) \tau } + c_2 e^{( \beta - \lambda ) \tau } \end {Ecuación}
con
\begin {Ecuación} E_ \tau ( \tau ) = ( \beta + \lambda ) e^{( \beta + \lambda ) \tau } + ( \beta - \lambda ) c_2 e^{( \beta - \lambda ) \tau } \end {Ecuación}
y para algunas constantes $c_1$ y $c_2$ que hay que determinar. Obtenemos la solución de la EDO de Riccati sustituyendo
\begin {Edición} B(t, T) = \frac {2 C(t, T)}{ \alpha } = - \frac {2 D_t(t, T)}{ \alpha D(t, T)} = \frac {2 E_ \tau ( \tau )}{ \alpha E( \tau )}. \end {Ecuación}
Aplicando la condición terminal se obtiene
\begin {eqnarray} B(T, T) = 0 \qquad & \Leftrightarrow & \qquad E_ \tau (0) = 0 \\ & \Leftrightarrow & \qquad c_1 = -c_2 \frac { \beta - \lambda }{ \beta + \lambda }. \end {eqnarray}
Así,
\begin {Ecuación} E( \tau ) = \frac {c_2}{ \beta + \lambda } e^{ \beta \tau } \left ( ( \beta + \lambda ) e^{- \lambda \tau } - ( \beta - \lambda ) e^{ \lambda \tau } \right ) \end {Ecuación}
y
\begin {Ecuación} E_ \tau ( \tau ) = ( \beta - \lambda ) c_2 e^{ \beta \tau } \left ( e^{- \lambda \tau } - e^{ \lambda \tau } \right ). \end {Ecuación}
Finalmente conseguimos
\begin {eqnarray} B(t, T) & = & \frac {2 ( \beta ^2 - \lambda ^2) \left ( e^{- \lambda \tau } - e^{ \lambda \tau } \right )}{ \alpha \left ( ( \beta + \lambda ) e^{- \lambda \tau } - ( \beta - \lambda ) e^{ \lambda \tau } \right )} \\ & = & \frac { \left ( e^{2 \lambda \tau } - 1 \right )}{( \beta + \lambda ) - ( \beta - \lambda ) e^{2 \lambda \tau }} \\ & = & \frac {2 \left ( e^{ \psi_1 (T - t)} - 1 \right )}{ \left ( \gamma + \psi_1 \right ) \left ( e^{ \psi_1 (T - t)} - 1 \right ) + 2 \psi_1 }. \end {eqnarray}
