Modelo de precios con movimiento browiano geométrico y volatilidad estocástica

Question

Me gustaría generar escenarios (simular varias trayectorias del proceso) para varias acciones utilizando el Movimiento Browniano Geométrico multinomial bajo el supuesto de volatilidad estocástica. Voy a utilizarlo en mi tarea de optimización de carteras. En primer lugar, intenté modelar la volatilidad estocástica utilizando el modelo Copula-GARCH (porque es esencial para la cartera modelar la volatilidad (dispersión) de cada acción y la dependencia (covarianza)). Traté de encontrar algunos artículos, que utiliza un enfoque similar, pero no he encontrado.

Así que tengo dos preguntas: ¿por qué son impopulares estos modelos? Y ¿cuáles son las alternativas, que podría modelar las dependencias entre los activos financieros?

Encontré que los investigadores añadieron a GBM otro proceso que modela la volatilidad, así:

$dS_t = \mu S_{t}dt + \sigma(Y_t)S_tdW_{1t},$

$dY_t = \theta(w-Y_t)dt + \epsilon \sqrt(Y_t)dW_{2t}$

Pero no entiendo cómo modelar las dependencias en este caso.

Gracias.

Answer 1

Permítanme intentar responder, este tema es mucho más profundo que mi respuesta

1. ¿Por qué son impopulares estos modelos?

• En primer lugar, estos modelos producen distribuciones marginales que no se ajustan al mercado, lo que significa que no pueden reproducir los precios de las opciones vainilla negociados en el mercado
• Los modelos SV, por ejemplo el modelo Heston, pueden ajustarse a unos pocos precios de vainilla, pero no pueden ajustarse a toda la superficie, según el lema de Gyongy $$E[v_t|S_1]=\sigma_{Dupire}(S_1,t)^2$$
• $v_t = $ varianza stoch del activo
• Esta condición debe cumplirse si su modelo quiere ajustarse a la superficie iv
• Si está operando con productos exóticos como opciones de cesta / autocalls, normalmente se cubre con vainillas. Utilizar un modelo que no puede ajustarse a la superficie de vol implícita, significa que el valor del modelo de sus instrumentos de cobertura es erróneo

2. ¿Cuáles son las alternativas, que podría modelar las dependencias entre los activos financieros?

• Puede empezar con el modelo de Volatilidad Local (LV) multiactivo $$\frac{dS_i}{S_i}=\sigma_{Dupire_i}(S_i,t)dW_i$$ $$dW_idW_j=\rho_{ij}dt$$
• Los modelos de BT multiactivo pueden ajustar la superficie de vol implícita de cada subyacente, es decir, corregir las distribuciones marginales implícitas en el mercado
• Pero tienen una correlación instantánea constante entre el spot y el spot, mientras que los mercados suelen presentar un sesgo de correlación
• Y asumen un 100% de correlación spot/vol, lo cual es poco realista
• El modelo de Volatilidad Local-Estocástica (LSV) de varios activos tendría un componente SV y un componente LV $$\frac{dS_i}{S_i}=A_i(S_i,t)\sqrt{v_i}dW_i$$

$$dv_i = \alpha(v_i,t)dt + \beta(v_i,t)dW_{v_i}$$

$$\sigma_{Dupire_i}(S_i,t)^2 = A_i(S_i,t)^2E[v_i|S_i]$$

$$dW_idW_j=\rho_{ij}dt,\ dW_idW_{v_i}=\rho_{S_iv_i}dt,\ dW_idW_{v_j}=\rho_{S_iv_j}dt$$

• Se ajusta perfectamente a la superficie de vol implícita para cada subyacente, manteniendo la dinámica SV que usted desea $$E[A_i(S_i,t)^2v_i|S_i]=E[\frac{\sigma_{Dupire_i}(S_i,t)^2}{E[v_i|S_i]}v_i|S_i]=\sigma_{Dupire_i}(S_i,t)^2$$

• Las LSV suelen presentar un sesgo de correlación

• La elección de un buen SV también es primordial, incluso si usted tiene el componente LV para ajustar los precios de vainilla, si su dinámica SV lejos de la dinámica vol en la realidad, el modelo daría precios ridículos para los pagos de activos múltiples