straddle a corto plazo at-the-money y el vol implícito

Question

Este es un pasaje de "Advanced Equity Derivatives: Volatility and Correlation" de Sebastien Bossu, Wiley (2014).

Vemos el prox $\beta_0,$ parece utilizar la aproximación de que the at-the-money short term straddle is same as the implied vol? Pero no puedo obtener este resultado. Aquí podemos utilizar la fórmula aproximada de la compra/venta at-money con la tasa libre de riesgo $r=0:$ $$c= p = 0.4S\sigma\sqrt{T-t}?$$

Answer 1

A lo largo de la respuesta asumimos un marco Black-Scholes, señalando $C_{BS}(t,T)$ y $P_{BS}(t,T)$ los precios en $t$ de una opción de compra y una opción de venta emitidas sobre un subyacente $X_t$ y con la madurez $T$ . En general, el subíndice $BS$ designará el precio Black-Scholes de un derivado.

Una huelga a caballo de la huelga $K$ corresponde a una posición larga simultánea en una opción de compra y en una opción de venta, ambas con strike $K$ . Dejar $V(t,T)$ sea el valor en $t$ de un straddle con vencimiento $T$ por la paridad llamada-posada:

$$ V(t,T) = C(t,T)+P(t,T)=2C(t,T)+e^{-r(T-t)}K-X_t$$

Suponiendo que no hay ingresos (es decir, dividendos) ni rendimiento de costes, si el straddle es at-the-money (ATM) a plazo:

$$ V(t,T) = 2C(t,T)$$

Ahora, dejando $\sigma_X^{\star}$ sea la volatilidad ATM del subyacente $X_t$ , una aproximación útil de la fórmula Black-Scholes para las llamadas de la ATM es:

$$ C_{BS}(t,T) \approx 0.4X_t\sigma_X^{\star}\sqrt{T-t} $$

Así:

$$ V_{BS}(t,T) \approx 0.8X_t\sigma_X^{\star}\sqrt{T-t}$$

Además, tenga en cuenta que su straddle está escrito en devuelve en lugar de precios/niveles, por lo que cuando el straddle es ATM la aproximación se simplifica a:

$$ V_{BS}(t,T) \approx 0.8\sigma_X^{\star}\sqrt{T-t}$$

En su fórmula, el factor de escala $0.8$ y root cuadrada se cancelará, dejando:

$$ \beta_0 = \frac{V_{BS}(t,T,B_t)}{\sum_{i=0}^n{w_iV_{BS}(t,T,S^{(i)}_t)}} \approx \frac{\sigma_B^{\star}}{\sum_{i=0}^n{w_i\sigma_i^{\star}}} $$