¿Cómo obtener la volatilidad local de la superficie IV?

Question

Tengo que trabajar en el modelo de Dupire.

Si yo entender el documento de Fengler lo suficientemente bien podemos obtener la volatilidad local a partir de la volatilidad implícita alisado superficie porque si no se vería todo lleno de baches como el gráfico de la derecha página 35 y eso no es lo que tengo cuando uso las fórmulas detalladas y aproximadas en este documento (Kotze et al: Superficies de volatilidad implícita y local de las opciones sobre índices y divisas de Sudáfrica ).

Así que lo suavicé usando una regresión no paramétrica, es decente según este documento (Wu, Liu: Método de ajuste de curvas para la volatilidad implícita ), y luego no sé qué hacer.

Lo primero que no entiendo en absoluto es por qué podríamos usar $\sigma_{1}(t)\sigma_{2}(S)$ para regularizarlo y obtener una función entonces, en lugar de $\sigma(S, t)$ (Lo vi muy rápido en un tablero así que puedo estar equivocado). Y entonces, ¿cómo obtenemos la superficie de vol a partir de la superficie de volatilidad implícita? (No estoy pidiendo el procedimiento completo, sino algunos consejos, es bastante difícil de entender todo como un principiante).

Gracias.

Answer 1

Puede convertir la volatilidad implícita en volatilidad local utilizando esta fórmula:

$\sigma^2 \left(T,y\right)=\frac{\frac{\partial w}{\partial T}}{1 -\frac{ y}{w} \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{ y^2}{w^2}-\frac{1}{w}-\frac{1}{4}\right)\left( \frac{\partial w}{\partial y}\right)^2}$

Donde y es el dinero, definido como $y=\ln \left(\frac{ K}{F} \right)$ y w es la transformación de Black Scholes implícita vol $w=\sigma_{BS}^2\,T$

Así que la parte de la conversión es fácil. El reto es entonces: tenemos comillas de vol implícitas para un número limitado de huelgas y vencimientos, podemos ciertamente ajustar superficies a través de estos puntos y obtener la superficie de vol local a un nivel tan granular como queramos, pero hay un número infinito de formas funcionales que se ajustarán al número finito de puntos de datos que tenemos. Así que hay que introducir algunas restricciones, que pueden consistir en especificar la propia función (por ejemplo, spline cúbico, IVS, etc.), o en introducir alguna regularización (por ejemplo, se prefiere una función suave), de modo que el aspecto de la regulación entra en juego.

Espero que esto ayude.