Pregunta acerca de la martingala de la propiedad de la integral estocástica

Question

Deje $W_{t}$ ser un proceso de Wiener, y vamos a $$X_{t} = \int^{t}_{0}W_{\tau}d\tau$$ Es $X_{t}$ una martingala? Podemos reescribir en forma diferenciada como $$dX_{t} = W_{t}dt$$ ,lo que significa que $X_{t}$ es un proceso de difusión con sólo deriva de la parte $W_{t}$ y, por tanto, $X_{t}$ no es una martingala. Sin embargo, mediante la integración por partes, tenemos $$\begin{align} X_{t} &= t W_{t} - \int^{t}_{0}\tau dW_{\tau}\\ &=t \int^{t}_{0}dW_{\tau} - \int^{t}_{0}\tau dW_{\tau}\\ &= \int^{t}_{0}(t-\tau)dW_{\tau} \end{align}$$ $t-\tau$ es un determinista, cuadrado integrable función, de acuerdo con la martingala de la propiedad de la integral estocástica, $X_{t}$ es una martingala. Ahora mi pregunta es que el análisis anterior es la correcta? Gracias de antemano.

Answer 1

Si $X_t$ es de cuadrado integrable, entonces la integral $$\begin{align*} \int_0^t X_{\tau} dW_{\tau} \end{align*}$$ es una martingala. Aquí, el integrando $X_{\tau}$ no depende de la integral limit $t$. Sin embargo, en su caso, el integrando, $t-\tau$, depende de $t$, entonces la condición para la martingality de la integral de la falla.

Answer 2

Los dos procesos no son pathwise igual. Aquí es una simulación (recorrido de la muestra) de los dos procesos de $(t-\tau)dW_{\tau}$ e $W_\tau d\tau$:

Tenga en cuenta que ambos procesos tienen el mismo valor en el tiempo final.