¿Cuál es la distribución límite de la cartera de pérdidas?

Question

Estoy trabajando en esto papel en la distribución de pérdidas de la cartera de Vasicek.

En la página 3 menciona que por la ley de los grandes números,

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{\lfloor nx \rfloor} \binom{n}{k}s^k(1-s)^{n-k} = 1_{\{x \ge s \}}$$ donde $s \in (0,1)$ ,

Aquí $x$ es un número real, $k$ es un número entero y $\binom{n}{k}$ es el coeficiente binomial.

pero no acabo de entender por qué.

He intentado algún tipo de argumento de distribución binomial, ¡pero no he tenido mucho éxito!

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

$$\begin{split}\sum_{k=0}^{[nx]}\binom{n}{k}s^k(1-s)^{n-k}& =\sum_{k=0}^n \mathbb{1}_{k\leq [nx]} \binom{n}{k}s^k(1-s)^{n-k} \\ & = \sum_{k=0}^n \mathbb{1}_{k\leq nx} \binom{n}{k}s^k(1-s)^{n-k} \\ & = \mathbb{P}(\mathcal{B}(n,s)\leq nx)\\ & = \mathbb{P}\left(\frac{\mathcal{B}(n,x)}{n}\leq x\right)\end{split}$$

donde $\mathcal{B}(n,s)$ es una binomial de parámetros $(n,s)$

utilizando la ley de los grandes números se obtiene $\frac{\mathcal{B}(n,s)}{n}\to_{n\to\infty} s$ y puedes concluir.