¿El método de las diferencias finitas implícitas garantiza siempre un precio positivo y estable de la derivada?

Question

Para el siguiente pde black scholes $$ f_t + rSf_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2f_{SS} = rf $$

Al denotar $f_{i}^{n} = $ Precio del derivado en el nodo de precios $i$ y el nodo de tiempo $n$ y suponiendo una malla uniforme, el esquema implícito correspondiente sería $$ a_if_{i-1}^n + b_if_{i}^n + c_if_{i+1}^n = f_i^{n+1} $$ donde $$ a_i = -\frac{1}{2}\Delta t \left( \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2} - \frac{rS_i}{\Delta S} \right) = -\frac{1}{2}\Delta t(\sigma^2i^2 - ri)\\ b_i = 1+\Delta t \left( \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2}+r \right) = 1+\Delta t(\sigma^2i^2 + r) \\ c_i = -\frac{1}{2}\Delta t \left( \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2} + \frac{rS_i}{\Delta S} \right) = -\frac{1}{2}\Delta t(\sigma^2i^2 + ri) $$

En forma de matriz, $$ CF_n + K_n = F_{n+1} \\ F_n = C^{-1}\left( F_{n+1}-K_n \right) $$ donde $$ F_n= \begin{pmatrix} f_1^n \\ f_2^n \\ \vdots \\ f_{M-1}^{n} \end{pmatrix}\\ C = \begin{pmatrix} b_1 & c_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_2 & b_2 & c_2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a_3 & b_3 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{M-1} & b_{M-1} \end{pmatrix} $$ $$ K_n = \begin{pmatrix} a_1f_0^n \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ c_{n-1}f_M^n \end{pmatrix} $$ donde $f_0$ y $f_M$ son dos extremos de la parrilla de precios con algunas condiciones de contorno.

Hay dos preguntas que hacer

1. Todos los coeficientes deben ser mayores o iguales a cero para garantizar que el precio de la derivada sea siempre positivo, ya que la referencia que he leído hasta ahora menciona que para el esquema explícito los coeficientes deben ser mayores que iguales a cero pero no para el esquema implícito. Supongo que no es necesario, ya que $a_i \geq 0$ cuando $$ \frac{\Delta S}{S_i} \geq \frac{\sigma^2}{r} $$ y esto se mantendría para las pequeñas $S_i$ .
2. Para la estabilidad, creo que $\left\|C\right\|_{\infty} \geq 1$ ya que tomamos la inversa de $C$ . Cuando $a_i < 0$ y $c_i \geq 0$ , $$ \begin{align} |a_i|+|b_i|+|c_i| &= \frac{1}{2}\Delta t(\sigma^2i^2 - ri) + 1 + \Delta t(\sigma^2i^2 + r) - \frac{1}{2}\Delta t(\sigma^2i^2 + ri) \\ &= -\Delta t \frac{rS_i}{\Delta S} + 1 + \Delta t\frac{\sigma^2S_{i}^{2}}{\Delta S^2} + \Delta r \end{align} $$ y debe ser mayor o igual a 1. $$ \begin{align} & -\Delta t \frac{rS_i}{\Delta S} + 1 + \Delta t\frac{\sigma^2S_{i}^{2}}{\Delta S^2} + \Delta r \geq 1 \\ \implies & -\frac{rS_i}{\Delta S} + \frac{\sigma^2S_{i}^{2}}{\Delta S^2}+r \geq 0 \\ \implies & -rS_i\Delta S + \sigma^2S_{i}^{2} + \Delta S^2r \geq 0 \end{align} $$ Dejando $g(S_i, \Delta S) = -rS_i\Delta S + \sigma^2S_{i}^{2} + \Delta S^2r$ requiere un mínimo de $g$ mayor o igual a 0. $$ g_{S_i} = -r\Delta S + 2\sigma^2S_i = 0 \implies S_{i}^{*} = \frac{r\Delta S}{2\sigma^2} $$ et $$ \begin{align} g(S_{i}^{*},\Delta S) &= -\frac{r^2\Delta S^2}{2\sigma^2} + \frac{r^2\Delta S^2}{4\sigma^2} + r\Delta S^2 \\ &= -\frac{2r}{4\sigma^2} + \frac{r}{4\sigma^2} + 1 \\ &= -\frac{r}{4\sigma^2} + 1 \geq 0 \\ \implies & \frac{\sigma^2}{r} \geq \frac{1}{4} \end{align} $$ Por lo tanto, creo que la iteración no es estable para $\frac{\sigma^2}{r} < \frac{1}{4}$ .

He intentado encontrar referencias, pero la mayoría de ellas utilizaban el cambio de variables para transformar la pde de black scholes en la ecuación normal del calor y utilizaban el análisis de estabilidad de von-neumann, por lo que no he podido encontrar una respuesta. Gracias de antemano.

Editar: $c_i \geq 0$ es imposible ya que $$ c_i \geq 0 \implies \sigma^2i^2+ri \leq 0 \implies i \leq -\frac{r}{\sigma^2} $$ Por lo tanto, $|a_i|+|b_i|+|c_i| > 1$ para cualquier $a_i$ . Por favor, ignore la segunda pregunta.

Answer 1

Para la EDP original, la positividad puede deducirse del principio de máximo para un operador parabólico. También existe una versión discreta del principio de máxima para el operador parabólico de diferencias finitas, como por ejemplo se indica en Hung-Ju Kuo y N. S. Trudinger, On the discrete maximum principle for operadores diferenciales parabólicos que se puede aplicar para demostrar la positividad del esquema de diferencias finitas implícito de la EDP.

Es más fácil mostrar el principio de máxima discreta para la ecuación de calor canónica que se obtiene transformando la EDP original mediante la eliminación de ambos $r$ y el $S$ en los coeficientes.

Answer 2

Para la positividad, creo que también dependerá de la condición de contorno. La idea se expone brevemente como sigue.

Digamos que tenemos una condición de contorno $f(S_T,T) = min\{S_T - K,0\}$ , $f(b,0) = 0$ y $f(a,t) = 0$ . Por el teorema de Feynman-Kac, la solución de la EDP original puede escribirse como

$f = e^{-rT}\mathbb{E}[min\{S_T-k,0\}]$ , donde $dS_t = rS_tdt + \sigma S_tdW_t$

Sabemos que $min\{S_T-k,0\} \leq 0, \forall S_T \in [0,\inf)$ . Por lo tanto, tenemos $f \leq 0$ .

Si su método numérico converge, su solución, en este caso, también será menor o igual a 0.

Para la estabilidad, consulte Métodos PDE para la fijación de precios de las opciones de barrera .