Sobre la interpretación de los coeficientes en un modelo logarítmico como una media

Question

En el modelo de regresión lineal $E(y|X)=x'\beta$ y así somos capaces de interpretar un $\beta_i$ como $\Delta E(y|\text{all fixed except } x_i)=\beta_i \Delta x_i$ . Estoy pensando en cambios discretos. Por lo tanto, podemos interpretar el estimador de $\beta_i$ como una estimación de lo que ocurre en promedio.

Me preguntaba si esta interpretación de los estimadores de los coeficientes también se conserva cuando tenemos un modelo log-log... $ E(\%\Delta y|\text{all fixed except } x_i)\approx \beta_i \%\Delta x_i$

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

La respuesta corta es no, esto no es así cuando la variable dependiente está en log, a menos que definir el $\%\Delta$ como (100 veces) la diferencia logarítmica. La razón es que $E(\log y) \ne \log E(y)$ .

No necesitamos un modelo de regresión múltiple para demostrarlo, así que consideremos $\log(y)=\beta_0 + \beta_1 x + u$ . Es el variable dependiente en log que importa, así que no llevemos el tronco a $x$ por razones de brevedad.

Es cierto que $\%\Delta y \approx 100 \beta_1 \Delta x$ si $\Delta u = 0$ ( ceteris paribus ) cuando $\beta_1 \Delta x \approx 0$ . Pero no podemos interpretarlo en términos de $E(y|x)$ . La razón es la siguiente.

Como puede ver, tenemos $y = \exp(\beta_0 + \beta_1 x + u)$ . Cuando $x$ aumenta de $x_1$ a $x_1+\Delta x$ , $y$ aumenta de $y_1 = \exp(\beta_0 + \beta_1 x_1 + u_1)$ a $y_2 = \exp \{ \beta_0 + \beta_1 (x_1+\Delta x)+u_2 \}$ . Es importante, $u$ también puede cambiar porque $u$ no se mantiene fija, por lo que escribí $u_1$ y $u_2$ .

Ahora, ¿cuál es la tasa de cambio de $y$ ? Tenemos $$ \frac{y_2}{y_1} -1 = \exp(\beta \Delta x) \exp(\Delta u) -1 \approx (1+\beta \Delta x) \cdot \exp(\Delta u) -1, $$ donde $\Delta u = u_2-u_1$ . Aquí, el lado izquierdo es la tasa de cambio de $y$ . Se puede verificar que la tasa de cambio de $y$ es aproximadamente $\beta \Delta x$ si $u_1 = u_2$ es decir, si $u$ se mantiene fija para que $\exp(\Delta u) = 1$ . Pero el problema es que $u$ es no se mantiene fijo así que $\exp(\Delta u)$ puede ser muy diferente de 1 . Cuando $x$ y $u$ son independientes, la tasa media de crecimiento es $\exp(\beta \Delta x) \cdot E(e^{\Delta u}) -1$ .

¿Qué diferencia habría entre esto y $\beta \Delta x$ ? Si $u\sim N(0,\sigma^2)$ y $u_1$ y $u_2$ son mutuamente independientes, entonces $u_2-u_1 \sim N(0,2 \sigma^2)$ y por lo tanto $E(e^{u_2-u_1}) = \exp(\sigma^2)$ . Por ejemplo, si $\beta_1 \Delta x_1 = 0.01$ y $u\sim N(0,1)$ entonces la tasa media de crecimiento de $y$ es $\exp(0.01) \times e - 1 \approx 1.75$ Es decir, aproximadamente el 175%, lo que difiere enormemente del 1%. Interesante, ¿no?

Simulaciones: Utiliza R para hacer la siguiente simulación.

set.seed(1)
n <- 1e6
x1 <- rnorm(n)
x2 <- x1+1
y1 <- exp(1+0.01*x1 + rnorm(n))
y2 <- exp(1+0.01*x2 + rnorm(n))
100*mean(y2/y1-1)
# 175.2406
mean(log(y2)-log(y1))
# 0.01004419

Cuando $\beta_1 \Delta x = 0.01 \times 1 = 0.01$ La tasa media de crecimiento no es del 1%, sino del 175%. Pero $\Delta E(\log y)$ es aproximadamente 0,01.

Nota 1: La discusión anterior es para el modelo de nivel de registro. Poco cambia para el modelo log-log.

Nota 2: Si se define la tasa de crecimiento como la log-diferencia, la tasa de crecimiento esperada es igual a la log-diferencia esperada = $\beta \Delta x$ .