¿La varianza incondicional implicada por un GARCH es igual a la varianza muestral?

Question

En la configuración predeterminada de MATLAB para la estimación de GARCH dicen que "la varianza condicional de presample es el promedio muestral de las perturbaciones al cuadrado de los datos de respuesta ajustados al desplazamiento y". ¿Estoy en lo cierto al interpretar esto como la varianza muestral? (disculpa, mi inglés no es tan sofisticado como para entender esa oración)

(segunda pregunta no del todo relacionada) Digamos que estoy usando 2000 devoluciones logarítmicas diarias para estimar un GARCH(1,1), y obtengo $\omega=0.0000026$, $\alpha_1=0.1381$ y $\beta_1=0.8587$. Por lo tanto, la varianza incondicional es $\frac{w}{1-\alpha_1 - \beta_1}=0.0008$. ¿Debería teóricamente esta estimación ser la misma que la varianza muestral $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{2000}(r_t-\mu_t)^2$, o la varianza incondicional y la varianza muestral no son lo mismo?

Answer 1

En este contexto, varianza incondicional se refiere al nivel de varianza estacionaria predicho por tu modelo GARCH. Esta cantidad no tiene por qué coincidir con la varianza de la muestra de los datos en los que se ha calibrado este modelo.

Dicho esto, en un esfuerzo por reducir la complejidad del proceso de estimación de los parámetros GARCH (un problema de optimización no lineal molesto), es frecuente entre los practicantes imponer que la varianza incondicional (model-bound) coincida perfectamente con la varianza de la muestra (data-bound). Esta técnica, que efectivamente reduce el espacio de parámetros GARCH (es decir, limita que la intercepción se convierta en una función de los otros parámetros GARCH y la varianza de la muestra) se conoce como targeting de varianza.

Aunque no conozco los detalles de la función de MATLAB que estás utilizando, supongo que "varianza presample" simplemente se refiere al primer valor de varianza condicional $h_1$ (de ahí el adjetivo pre-muestra). El conocimiento de $h_1$ efectivamente permite inferir todas las varianzas condicionales futuras $(h_2,\dots,h_N)$ ya que ya conoces la serie realizada de $(r_1, \dots, r_N)$ donde $N=2000$ y $r_N$ la log-retorno más reciente en tu caso. Otra posibilidad sería considerar $h_1$ como otro parámetro de tu modelo GARCH y determinarlo a través de la estimación de máxima verosimilitud.

Answer 2

Creo que el paper referenciado por Quantuple en el comentario es el siguiente:

Pelagatti, Matteo, y Francesco Lisi. "Variance initialisation in GARCH estimation." S. Co. 2009. Sexta Conferencia. Modelado de Datos Complejos y Métodos Estadísticos Intensivos Computacionalmente para Estimación y Predicción. Maggioli Editore, 2009.