Interpretación del multiplicador de Lagrange

Question

Un estudiante desea minimizar el tiempo necesario para obtener una determinada nota media esperada en sus exámenes de fin de semestre. Sea $\displaystyle {t}_{i}$ ser el tiempo de estudio materia i {1,2}.

Supongamos que las funciones de grado esperadas son $\displaystyle {g}_{1} ({t}_{1})=40+8\sqrt{{t}_{1}}$ y $\displaystyle {g}_{2} ({t}_{2}) = 2{t}_{2}$ .

Por lo tanto, el problema de optimización del individuo es elegir ${t}_{1}$ y ${t}_{2}$ para minimizar el tiempo total de estudio $= {t}_{1} + {t}_{2}$ a condición de obtener una nota media de donde

$\displaystyle m-\frac{[{g}_{1}({t}_{1})+{g}_{2}({t}_{2})]}{2}=0$

Necesito resolver las opciones óptimas de ${t}_{1} , {t}_{2}$ y $$ en el caso de que el estudiante desee obtener una nota media esperada de 70.

Trabajando a través del problema termino con

${t}_{1}=4$

${t}_{2}=42$

$T=46$

$\displaystyle\lambda=-1$

¿Cómo interpretaría el multiplicador de lagrange en este caso?

Answer 1

Como se menciona en la otra respuesta, el multiplicador de Lagrange es el efecto marginal sobre la función de valor (optimizada), cuando la restricción se "relaja" marginalmente. En tu caso, entonces, habría que interpretar "¿cuánto cambia el tiempo de estudio a medida que aumenta la nota media esperada requerida..."?

Bueno, este es un buen ejemplo para mostrar que la forma en que establecemos la función lagrangiana importa para interpretar lo que obtenemos de manera significativa. Su es un caso de minimización por lo que tenemos $$\min T = t_1+ t_2 \\ s.t\;\;\; \displaystyle m-\frac{[{g}_{1}({t}_{1})+{g}_{2}({t}_{2})]}{2}=0$$

¿Cómo escribimos el lagrangiano? ¿Escribimos

$$\Lambda = t_1+ t_2 + \lambda\left[m-\frac{[{g}_{1}({t}_{1})+{g}_{2}({t}_{2})]}{2}\right]$$

o

$$\Lambda = t_1+ t_2 - \lambda\left[m-\frac{[{g}_{1}({t}_{1})+{g}_{2}({t}_{2})]}{2}\right]$$

Dado que la restricción es una restricción de igualdad, es posible que oiga que "no importa". En efecto, matemáticamente no importa, pero sí lo hace cuando llega el momento de interpretar el valor del multiplicador. Y, tal vez en los problemas de maximización de la utilidad no nos importe mucho porque la utilidad es ordinal. Pero en un problema como el que resuelve el PO, la función objetivo se mide en una unidad muy real y medible y cuantificable, el tiempo.

Ahora bien, cómo debemos entender "qué pasa cuando la restricción es relajado "? En el problema específico de minimización, significa intuitivamente "qué sucede cuando el $m$ es reducido ". (Ya que "relajarse" tiene una connotación "deseable", y por ello desearíamos que nos pidieran menos esfuerzo, un objetivo menor).

Supongo que ahora está claro cómo el valor obtenido para $\lambda$ puede ser interpretado. Y reflexiona sobre qué variante del Lagrangiano es la adecuada para tu caso.

Answer 2

En los valores óptimos, por dualidad, este problema lagrangiano es equivalente a maximizar la puntuación media dado un presupuesto de tiempo, donde $t_1 + t_2 = 46$

$$m = \max_{t_1, t_2} \frac{[{g}_{1}({t}_{1})+{g}_{2}({t}_{2})]}{2} - \lambda(t_1 + t_2 - 46)$$

Introduzca los valores óptimos de $t_1, t_2$ en su lagrangiano original:

$$V(m) = 46 + \lambda(m - 70)$$

Tenga en cuenta que $$\frac{\partial V}{\partial m} = \lambda$$

Creo que la interpretación aquí es que el multiplicador de Lagrange es la tasa de cambio de la puntuación óptima a medida que se gana más tiempo.