Cálculo estocástico: Cómo probar la dependencia de variables aleatorias

Question

Si dejo $g(x)$ ser una función determinista de una variable real $x$ y definen $X(t)$ como: $$X_T=\int_{0}^{T}f(u)dW_u$$ with $W_t$ ser un proceso de wiener. Para $s<t$, Se $X_s$ e $X_s-X_t$, a continuación, ser independiente?

Mi intuición me dice que va a ser independientes, porque la estocástico $W_t-W_s$ e $Ws$ es independiente por la definición del proceso de Wiener. Sin embargo, yo no puedo probar esto.

Answer 1

Es equivalente a preguntar si $X_s$ e $X_t-X_s$ son equivalentes. Ahora $X_t-X_s=\int_s^t f(u)dW_u$ e $X_s=\int_0^s f(u)dW_u$. Pero tenemos una definición de la Itō integral como: $$\int_s^t f(u)dW_u = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x^{(n)}_i)(W_{x^{(n)}_{i+1}}-W_{x^{(n)}_{i}})$$ para el adecuado particiones $s=x_1^{(n)}<\dots<x_{n+1}^{(n)}=t$ y todos estos incrementos son de $W_{x_{i+1}}-W_{x_{i}}$ son independientes de $\{W_u\}_{u\le s}$.

Así que sí, son independientes.