¿Cómo calcular el riesgo total mínimo?

Question

¿Es posible calcular el Riesgo Total Mínimo matemáticamente para el problema siguiente?

La Acción A tiene un riesgo del 25 por ciento, la Acción B tiene un riesgo del 50 por ciento, y sus rendimientos están correlacionados en un 50 
por ciento. ¿Qué cartera totalmente invertida en A y B tiene el riesgo total mínimo?

Answer 1

Supongo que aquí el riesgo se mide en volatilidad. Luego una cartera con 100* $ w $ por ciento invertido en A y 100* $ (1-w) $ por ciento invertido en B tiene la varianza anual $$ v = w^2 0.25^2 + 2* 0.5 w(1-w) 0.25*0.5 + (1-w)^2 0.5^2. $$

Buscar la cartera con la menor varianza es equivalente a buscar la menor volatilidad.

Para obtener el mínimo tomamos la derivada de $v$ con respecto a $w$ $$ dv/dw = 2 w 0.25^2 + (1-2w) 0.25*0.5 + (2w-2)0.5^2. $$ Buscando la raíz de esto obtenemos que $w^* = 1$.

Así que deberíamos invertir toda nuestra riqueza en la acción A y el riesgo mínimo es del 25%.

Si la volatilidad de B fuera más baja, podría reducir el riesgo invertir en B. Sin embargo, como la volatilidad de B es tan alta y la correlación es bastante grande, la diversificación no funciona aquí.

Por ejemplo, la cartera 50/50 tiene una volatilidad de aproximadamente 74%. La 80/20 tiene 59% y la 90/10 tiene 56.7%.

Answer 2

Estás buscando la cartera de varianza mínima de dos activos, asumiendo que "riesgo" se traduce en volatilidad (varianza) aquí. Entonces, lo que harías matemáticamente hablando es introducir una variable $w\in[0,1]$ que es el peso de la acción A (digamos) en la cartera, calcular el "riesgo" - que es la varianza - de la cartera $wA+(1-w)B$ y luego resolver para el $w_0$ para el cual se logra la mínima varianza.

Así que la respuesta a tu pregunta formal es - sí.