Solución de intensidad del proceso de Hawkes

Question

Saludos a todos, Estoy luchando para resolver el siguiente SDE por intensidad:

$d\lambda_t = \kappa(\rho(t) - \lambda_t)dt + \delta dN_t $

Sé esperar la solución en forma de

$\lambda_t = c(0)e^{-\kappa t} + \kappa \int_0^{t}e^{-\kappa (t-u)} \rho(u) du + \delta\int_0^{t}e^{-\kappa (t-u)}dN_u$

a partir de aquí puedo comprobar que efectivamente es la solución pero no soy capaz de llegar a este paso con rigor.

Gracias.

Answer 1

Definamos el proceso auxiliar $\Lambda_t=e^{\kappa t}\lambda_t$ . Tenga en cuenta que:

$$ \Lambda_t = \kappa e^{\kappa t} \int_0^t(\rho_s-\lambda_s)ds+\delta e^{\kappa t}\int_0^tdN_t$$

Por lo tanto, después de que se produzca un salto en $t$ :

$$ \Lambda_t=\Lambda_{t-}+\delta e^{\kappa t}$$

Por lo tanto, por el lema de Ito para los procesos de difusión de salto:

$$ \begin{align} d\Lambda_t & = \frac{\partial \Lambda_t}{\partial t}dt+\frac{\partial \Lambda_t}{\partial \lambda_t}\kappa(\rho_t-\lambda_t)dt+(\Lambda_t-\Lambda_{t-})dN_t \\[9pt] & = \kappa e^{\kappa t}\rho_tdt+\delta e^{\kappa t}dN_t \end{align}$$

Integrar:

$$ \Lambda_t=\Lambda_0+\kappa\int_0^te^{\kappa s}\rho_sds+\delta\int_0^te^{\kappa s}dN_s$$

Finalmente:

$$ \lambda_t=\lambda_0+\kappa\int_0^te^{\kappa (s-t)}\rho_sds+\delta\int_0^te^{\kappa (s-t)}dN_s$$

Se nota que en el SDE original el siguiente factor es el "molesto":

$$d\lambda_t = \cdots + \left(-\kappa \lambda_t dt\right) + \cdots$$

que corresponde a la diferencial de una exponencial con constante $\kappa$ :

$$ dx_t = \kappa x_tdt \quad \Leftrightarrow \quad x_t = Ce^{\kappa t}$$

Por lo tanto, es necesario tratar de deshacerse de él haciendo un $+\kappa \lambda_t dt$ aparecen de alguna manera, lo que se puede conseguir diferenciando una exponencial con constante $\kappa$ mediante el lema de Ito aplicado a $\Lambda_t$ como se ha definido anteriormente.

Answer 2

Set $\tilde{\lambda}_t = e^{\kappa t} \lambda_t$ y resolver para $\tilde{\lambda}_t$