Combinación lineal de las Rentabilidades uso de Black-Scholes

Question

Escribir las rentabilidades en la Figura 3.8 como combinación lineal de las opciones de compra y obtener una forma cerrada de la fórmula de Black-Scholes precio, el Delta, y la Gamma de ellos. Todos los Griegos de la opción también son combinación lineal de estas opciones call de los Griegos. Por ejemplo, $$\Delta(t,S) = \Phi(d_1(\tau,K_1,S)) - \Phi(d_1(\tau,K_2,S)) - \Phi(d_1(\tau,K_3,S)) + \Phi(d_1(\tau,K_4,S))$$

Solución parcial: Para la estrangular tenemos una paga de $$(K - S_T)_{+} + (S_T - K)_{+}$$ Therefore the closed form solution of B-S price of option is $$V(\tau,S) = P(\tau,K,S) + C(\tau,K,S)$$ and the delta of the position is $$\Delta(\tau,S) = -\Phi(-d_1(\tau,K,S)) + \Phi(d_1(\tau,K,S))$$ Finally our gamma for this position is $$\Gamma(\tau,S) = \frac{\Phi'(d_1(\tau,K,S)) + \Phi'(d_1(\tau,K,S))}{S\sigma \sqrt{\tau}}$$

Supongo que mi profesor cometió un error en lo que respecta a la B-S la forma cerrada precio: para los extraños es $$V(\tau,S) = (-S_0\Phi(-d_1) + e^{-rT}K\Phi(-d_2)) + (S_0\Phi(d_1) - e^{-rT}K\Phi(d_2))$$ y similares para el straddle

donde $\tau = T - t$ no está seguro de por qué utilizamos $\tau$ cualquier explicación de que sería genial.

Answer 1

A expresar su rentabilidad en forma matemática, es mejor utilizar funciones de los indicadores. Supongo que la parte inferior de los gráficos (es decir, el vértice de la izquierda y el segmento inferior de la derecha uno) representa cero.

Para la izquierda-por un lado, la rentabilidad está dada por \begin{align*} (K-S_T)\pmb{1}_{S_T \le K} + (S_T-K)\pmb{1}_{S_T \ge K} = (K-S_T)^+ + (S_T-K)^+, \end{align*} es decir, un straddle que implica tanto un espacio Europeo de call y put con el mismo precio de ejercicio y fecha de vencimiento.

Para la derecha, la rentabilidad está dada por \begin{align*} (K_1-S_T)\pmb{1}_{S_T \le K_1} + (S_T-K_2)\pmb{1}_{S_T \ge K_2} = (K_1-S_T)^+ + (S_T-K_2)^+,\tag{1} \end{align*} es decir, una estrangular que implica tanto una call Europea y con la misma fecha de vencimiento, pero diferentes de las huelgas.

Para la valoración, como un ejemplo, vamos a considerar (1). Según Black-Scholes de la fórmula, el valor de Rentabilidad (1) está dada por \begin{align*} V=\Big[K_1 e^{-rT} \Phi(-d_2^1) - S_0 \Phi(-d_1^1)\Big] + \Big[S_0 \Phi(d_1^2) - K_2 e^{-rT} \Phi(d_2^2)\Big], \end{align*} donde el primer término es el valor de la opción de pago $(K_1-S_T)^+$ y el segundo es el valor de la opción de pago $(S_T-K_2)^+$. Aquí, \begin{align*} d_1^1 &= \frac{\ln \frac{S_0}{K_1} + (r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}},\\ d_2^1 &= d_1^1 - \sigma \sqrt{T},\\ d_1^2 &= \frac{\ln \frac{S_0}{K_2} + (r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}},\\ d_2^2 &= d_1^2 - \sigma \sqrt{T}.\\ \end{align*} El delta hedge ratio es la suma de los deltas de la primera opción y la segunda de opciones call, es decir, \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial S_0} &= -\Phi(-d_1^1) + \Phi(d_1^2)\\ &=\Phi(d_1^1) + \Phi(d_1^2) - 1, \end{align*} y la gamma de cobertura ratio es la suma de gammas de la primera opción y la segunda de opciones call, es decir, \begin{align*} \frac{\partial^2 V}{\partial S_0^2} &= \frac{\Phi'(d_1^1)}{S_0\sigma \sqrt{T}}+ \frac{\Phi'(d_1^2)}{S_0\sigma \sqrt{T}}\\ &=\frac{\Phi'(d_1^1) + \Phi'(d_1^2)}{S_0\sigma \sqrt{T}}. \end{align*}