Cuál debe ser el signo de la letra griega $\rho$?

Question

Estoy leyendo el libro de Gestión de Riesgos y el Valor de los Accionistas en la Banca por Resti & Sironi. Cito un párrafo del libro (Capítulo 5, apéndice):

La derivada de una opción de valor con respecto a la tasa de interés es el rho ($\rho$) coeficiente. Desde un punto de vista lógico, la relación entre estas dos cantidades es dual. Por un lado, una mayor tasa de interés disminuye el valor presente de la opción de la la esperada final valor (rentabilidad al vencimiento): esto significa que una mayor tasa de interés tiene un efecto negativo en el valor de cualquier opción. Por otro lado, una tasa de interés más alta implica un mayor precio del activo subyacente, por lo que un valor mayor para las opciones de llamada y un valor más bajo para las opciones de venta. Los dos efectos, por tanto, actúan en la misma dirección en la caso de las opciones put (haciendo que el efecto total negativo), mientras actúan en un conflicto de manera en el caso de las opciones de compra, para que, en cualquier caso, el primer efecto que generalmente predomina. Así que, en breve:
$$\rho_{c}=XTe^{-iT}N(d_2)<0$$ $$\rho_{p}=XTe^{-iT}N(d_2)<0$$.

Creo que las fórmulas son equivocadas. Deberían ser:

$$\rho_{c}=XTe^{-iT}N(d_2)>0$$

$$\rho_{p}=-XTe^{-iT}N(-d_2)<0$$

Por otra parte, la explicación que ellos dan para el signo de $\rho_c$ está mal: ellos dicen que el efecto negativo predomina, lo cual no es cierto.

Me gustaría saber si las fórmulas y los signos son correctos, y también me gustaría tener más detalles sobre la declaración de "una mayor tasa de interés implica un mayor precio del activo subyacente". No entiendo cómo esto entra en el juego.

Answer 1

Sí, estás en lo correcto. Parece ser un simple error tipográfico en el libro. He comprobado las fórmulas en la Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Greeks_%28finance%29 y ellos están de acuerdo con la suya. Los signos son evidentes también, a partir de N(.) está entre 0 y 1, es decir, no negativo.

Ahora, sobre el razonamiento a partir "desde un punto de vista lógico". Está usted familiarizado con el modelo binomial? Imagine dos veces, una vez con una tasa de interés baja, una vez con una alta (todas las otras cosas de la misma). En el modelo el precio de las acciones crece a la tasa r. Así, en el alto de la tasa de interés de casos $S_T$ (lo que él llama el avance de los precios de las acciones) tendrá un mayor valor esperado, lo que aumentará $E(S_T-K)^+$ y disminuir el $E(K-S_T)^+$. Pero entonces tenemos que descontar estos dos valores el presente para encontrar el valor de y poner en valor, y con una alta tasa de interés que reduce tanto los valores. Así que para las llamadas, el efecto total parece ambiguo, por que pone que hay una disminución global en el valor (negativo $\rho_P$).