ejemplo Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman - aclaración de $dX_t$ derivación utilizando $\pi_t$ , $\Pi_t$

Question

Tengo un mercado con un tipo seguro r y un activo de riesgo S $$ \frac{dS_t}{S_t}=(r+Y_t)dt+\sigma dW_t \quad \quad (1)$$ $$ dY_t = - \lambda Y_t +dB_t \quad \quad (2)$$ donde W, B son movimientos brownianos con correlación $\rho$ .

Estoy derivando la ecuación HJB para el problema de maximización de la utilidad $$\max_{X} E[logX_T] \quad \quad (3)$$

La función V depende de t, X e Y. HJB va a ser la deriva de la función dV derivada mediante la fórmula de Ito. Por lo tanto, la función dV inicial será de la siguiente forma $$dV(t,X_t,Y_t)=V_t dt + V_x dX_t + V_ydY_t + \frac{1}{2} \big{(} V_{xx} d \langle X \rangle_t + 2 V_{xy} d \langle X,Y \rangle_t + V_{yy} d \langle Y \rangle_t \big{)} \quad \quad (4)$$

por lo que se supone que obtengo la siguiente ecuación HJB $$\sup_{\pi} \big{(} V_t + V_x (r+y \pi)x - \lambda y V_y + \frac{1}{2} (V_{xx}\sigma^2 \pi^2 x^2 + 2V_{xy} \sigma \rho \pi x + V_{yy} ) \big{)} =0 \quad \quad (5)$$ utilizando la siguiente dinámica $$dX_t=X_t(r+ \pi y )dt + \pi \sigma X_t dW_t \quad \quad (6)$$ $$$$

Ahora, no entiendo muy bien cómo el $dX_t$ y cómo se crea el $\pi$ entra en juego aquí. Mi opinión es que representa el peso de la cartera y $dX_t$ representa el cambio en el capital.

En la teoría (apuntes de estudio) tengo una fórmula general para una variable y queda así $$dV(X_t^{\Pi},t)=V_t + X_t^{\Pi} (r + \Pi' \mu)V_x + \frac{\Pi_t' \Sigma \Pi_t}{2} (X_t^{\Pi})^2 V_{xx})dt + V_x X_t^{\Pi} \Pi_t' \sigma dW_t \quad \quad (7)$$

El uso de la $\pi, \Pi$ componentes me confunde. ¿Podría alguien aclarar la lógica detrás del uso de $\pi$ y $dX_t$ ¿derivación, por favor?

Answer 1

Suponemos que \begin {align*} \frac {dX_t}{X_t} &= (r+ \pi Y_t)dt + \pi\sigma dW_t, \tag {1} \\ dY_t &= - \lambda Y_t + dB_t. \tag {2} \end {align*} De $(2)$ , \begin {align*} Y_t = Y_0 e^{- \lambda t}+ e^{- \lambda t} \int_0 ^t e^{ \lambda u} dB_u. \end {align*} Además, a partir de $(1)$ , \begin {align*} \ln X_T &= \ln X_0 + (r- \frac {1}{2} \pi ^2 \sigma ^2)T + \pi \int_0 ^TY_t dt + \pi\sigma W_T \\ &= \ln X_0 + (r- \frac {1}{2} \pi ^2 \sigma ^2)T + \pi Y_0 \int_0 ^Te^{- \lambda t} dt \\ & \qquad\quad \ \ \, + \pi\int_0 ^Te^{- \lambda t} \int_0 ^t e^{ \lambda u} dB_u dt + \pi\sigma W_T. \end {align*} Entonces \begin {align*} E( \ln X_T) &= \ln X_0 + (r- \frac {1}{2} \pi ^2 \sigma ^2)T + \pi Y_0 \int_0 ^Te^{- \lambda t} dt \\ &= \ln X_0 + (r- \frac {1}{2} \pi ^2 \sigma ^2)T + \frac { \pi Y_0}{ \lambda }(1-e^{- \lambda T}) \\ &= \ln X_0 - rT - \frac {1}{2} \sigma ^2T \left ( \pi - \frac {Y_0}{ \lambda\sigma ^2T}(1-e^{- \lambda T}) \right )^2 + \frac {Y_0^2}{ \lambda ^2 \sigma ^2T}(1-e^{- \lambda T})^2. \end {align*} Es decir, \begin {align*} \max_ { \pi }E( \ln X_T) &= \ln X_0 - rT + \frac {Y_0^2}{ \lambda ^2 \sigma ^2T}(1-e^{- \lambda T})^2, \end {align*} que se consigue en \begin {align*} \pi = \frac {Y_0}{ \lambda\sigma ^2T}(1-e^{- \lambda T}). \end {align*}