bono cupón cero y la velocidad de avance

Question

A mi entender, en un discreto tiempo de ajuste, la relación entre un bono cupón cero de los precios y de los tipos forward es:

$$p(t,T)=\frac{1}{\Pi_{j=1}^{T-1}f(t,j)}.$$

donde $p(t,T)$ representa el precio del bono cupón cero en el tiempo $t$ el pago de un seguro de dólares en $T$, e $f(t,S)$ es la velocidad de avance entre $t$ e $S$.

En el continuo ajuste de la hora, a mi entender es:

$$p(t,T)=e^{-\int_t^Tf(t,s)ds}.$$

¿Cómo llegamos a esto?

Es:

$$\lim_{k\rightarrow T-1}\frac{1}{\Pi_{j=1}^k f(t,j)}=p(t,T)=e^{-\int_t^Tf(t,s)ds}$$

Mi Pregunta:

1) ¿Es correcto esto?

2) Si es así, ¿cómo probar que la tercera ecuación?

3) Si no es correcto, ¿cómo se pasa de la primera a la segunda ecuación?

Answer 1

Voy a intentar un enfoque simplificado:

Deje $P(t,T)$ representan el precio en el momento t de un cupón cero, que paga a 1 en el tiempo t. Si se divide el período comprendido entre t y T en n sub-intervalos, suponga $F \left( t; t_{i-1}, t_{i}\right)$ representan la simple velocidad de avance en el tiempo t para el intervalo entre las $i-1$ e $i$, donde podemos suponer que la longitud de cada intervalo es igual a $\Delta t$. A continuación, puede escribir el precio de la siguiente manera:

$P(t,T)=\prod_{i=1}^{n}{\frac{1}{1+F \left( t; t_{i-1}, t_{i}\right) \Delta t }}$

Re-organizar a:

$P(t,T)\prod_{i=1}^{n}{\left(1+F \left( t; t_{i-1}, t_{i}\right) \Delta t \right)}=1$

Ahora digamos que aumentar el número de compuestos en cada intervalo (estos son los sub-intervalos de longitud de $\Delta t$, y en lugar de simples compuestos dentro de cada uno de estos intervalos, estamos aumentando la frecuencia de capitalización. m=1 reproduce el original):

$P(t,T)\prod_{i=1}^{n}{\left(1+\frac{F \left( t; t_{i-1}, t_{i}\right)}m \Delta t \right)^m}=1$

Ahora supongamos que m tiende a infinito (el procesamiento continuo dentro de cada sub-intervalo):

$\lim_{m \to \infty} \; P(t,T)\prod_{i=1}^{n}{\left(1+\frac{F \left( t; t_{i-1}, t_{i}\right)}m \Delta t \right)^m}=1$

Y el recuerdo de la identidad básica: $e^x=\lim_{m \to \infty} \left(1+\frac{x}{m}\right)^m$

$P(t,T)\prod_{i=1}^{n}{e^{F \left( t; t_{i-1}, t_{i}\right) \Delta t}}=1$

Que luego se transforma, toma nota de producto de la exponencial es exponencial de la suma de los exponentes:

$P(t,T)e^ {\sum_{i=1}^{n}{F \left( t; t_{i-1}, t_{i}\right)\Delta t}}=1$

Ahora bien, si usted deja que n tiende a infinito, entonces la suma será integral, y, a continuación, sólo necesita cambiar el término exponencial para el lado derecho, y obtendrá la fórmula deseada después de la aplicación de tiempo continuo interpretación de la instantánea velocidad de avance:

$P(t,T)=e^{-\int_t^T{f(t,s)ds}}$