Griegos de la cartera de autofinanciación

Question

Me gustaría aprender más sobre las griegas de las carteras de opciones:

En los libros de texto y en las páginas web, es frecuente encontrar la afirmación sin matices de que "la medida griega de una cartera es la suma de las griegas de los componentes individuales de la cartera". Esta afirmación es obviamente cierta para carteras constantes (debido a la linealidad de las derivadas matemáticas), pero estoy bastante seguro de que no siempre puede ser cierta para carteras no constantes y no autofinanciadas.

Lo que no tengo claro es si la afirmación es siempre cierta para carteras no constantes y autofinanciadas. Para las carteras autofinanciadas, dV = h-dS (donde V es el valor de la cartera y S el vector de los valores de los componentes de la cartera), por lo que espero que la afirmación sea cierta para las primeras derivadas, como delta y theta. ¿Pero qué pasa con las segundas derivadas, como la gamma?

Agradecería mucho que alguien me proporcionara una prueba de que cada una de las griegas de una cartera autofinanciada es efectivamente la suma de las griegas de los componentes. O si la prueba es un poco larga, si me pueden remitir a un libro (o artículo o página web) donde se discuta la prueba con el debido detalle.

Gracias.

Answer 1

Si se observa la demostración de Black-Scholes utilizando la cartera de autofinanciación, se utiliza el supuesto de cobertura continua.

Como cubres continuamente y la función es diferenciable, contiene la gamma ya que el delta se cubre continuamente. (Creo)

Answer 2

Pues bien, si tomamos una opción de compra la gamma es distinta de cero.

Si tomamos la cartera de réplica para una opción de compra, está formada por acciones y bonos. Ambos tienen gamma cero.

Así que en la forma preguntada, creo que el resultado es falso para las segundas derivadas.

Answer 3

Creo que la pregunta en su forma actual no es realmente precisa. Las griegas son bastante fáciles de definir para una fórmula dada de un precio: en ese caso son simplemente derivadas parciales, y por supuesto lineales (y en algún caso conmutan con integrales en lugar de sólo sumas finitas). Sin embargo, son crucialmente dependientes del modelo: no sólo sus expresiones, sino también sus significados. Por ejemplo, Vega es la sensibilidad a la BS IV, lo que resulta bastante extraño en modelos puramente de salto, por no decir que la definición de Vega a través de IV parece bastante circular.

Sin embargo, en cierto sentido su pregunta tiene una respuesta positiva. A cualquier estrategia $\varphi$ podemos asignar su valor $V_t(\varphi) = S_t\cdot \varphi_t$ Así que vamos a hablar de las sensibilidades de $V_t$ con algunas variables razonables. Consideremos un caso de modelo BS, $S_0 =\mathrm e^{rt}$ y que $\varphi$ replicar el precio de una llamada europea. En ese caso $$ \varphi^0_t = \mathrm e^{-rt}(c - \Delta S), \quad \varphi_t^1 = \Delta $$ así que $V_t(\varphi) = c$ y por supuesto todas las derivadas de $V$ son los de $c$ . Una vez más, es posible que vea alguna circularidad en este argumento, pero no sé cómo ayudar aquí a menos que aclare su pregunta en términos más precisos. De ninguna manera es por la forma en que la has formulado, más bien se refiere al hecho de que los griegos matemáticamente son bastante ambiguos como objeto.

Para resumir: como Mark señaló en su respuesta, la Gamma de $S$ y la cuenta de caja es cero, de ahí que en las carteras dinámicas sea crucial comprobar cuáles son las griegas de los coeficientes $\varphi$ en su cartera, no sólo las de los valores que entran en ella. Centrándonos en la Gamma, supongamos que tenemos una estrategia de autofinanciación que no tiene por qué replicar nada, sólo los dos procesos estocásticos $\varphi^0$ y $\varphi^1$ que representan la cantidad invertida en la cuenta de efectivo y en las acciones, respectivamente. Digamos que $\varphi^1$ es lo que eliges, así que para satisfacer la condición de autofinanciación $\mathrm d\varphi^0_t = -\mathrm e^{-rt}S_t\mathrm d\varphi^1_t$ . La forma de elegir $\varphi^1$ dependiendo, por ejemplo, de $S$ determina también sus griegas, por ejemplo en el caso de una estrategia de réplica de las llamadas europeas, $\varphi^1$ es su $\Delta$ y por lo tanto determina su Gamma. Tal vez, eso también es válido en general.