Vega de la opción europea con respecto al vencimiento y la volatilidad implícita

Question

Me han dicho que la Vega de una opción europea siempre aumenta cuando aumenta su tiempo de vencimiento (en igualdad de condiciones). Esto me pareció confuso y potencialmente erróneo, pero no parece haber fuentes relevantes en línea sobre esto. Tomemos una opción ATM para simplificar, su Vega es: $S\sqrt(\tau)N'(d1)$ , que es sólo $1 \over \sqrt(2\pi)$$ S\sqrt(\tau)e^{-(r+{\sigma^2\over2})^2\tau\over2} $. Now as $ \N - ¦tau $ increases to a large range, I found that Vega certainly decreases as we have a $ -\tau $ term in the exponent. However in small ranges of $ \N - ¦tau $ for example between 0 and 1, Vega does increases as $ \tau$ aumenta. ¿Me equivoco?

También me gustaría ver la relación del precio de la opción europea con respecto a la volatilidad y trazar un gráfico donde el $y$ es el precio de la opción calculado a partir de Black-Scholes, y el $x$ eje es $\sigma$ (también manteniendo todo lo demás igual y utilizando las opciones de los cajeros automáticos para simplificar). El gráfico parece sorprendentemente una línea recta. Pero a partir de la fórmula anterior, la pendiente local de esta línea sólo debe ser Vega en diferentes valores de $\sigma$ y por lo tanto debería ser decreciente, por lo que teóricamente la línea debería ser cóncava. ¿Me equivoco?

Answer 1

Para que las anotaciones no se vean afectadas, considere que $r=q=0$ en lo que sigue, aunque centrándonos en el caso particular de una opción ATM, es decir $K=S$ (si no, utilice el mismo razonamiento con $K=F(0,T)=Se^{(r-q)T}$ es decir, una opción ATMF, la conclusión no cambiará mucho).

En tu primera pregunta, estás buscando el signo de la derivada de Vega con respecto al vencimiento residual $\tau$ . La expresión de forma cerrada de esta griega viene dada por aquí bajo el nombre de Veta. En nuestra configuración particular obtenemos $$ \text{Veta} = - S \phi(d_1) \sqrt{\tau} \left[ \frac{1 + d_1d_2}{2\tau} \right] $$ con $d_1 = \frac{1}{2}\sigma\sqrt{\tau}$ y $d_2 = -d_1$ tal que $$ \text{Veta} = - S \phi(d_1) \frac{1}{2\sqrt{\tau}} \left[ 1 - \frac{1}{4}\sigma^2\tau \right] $$ como el prefactor tiene siempre el mismo signo, vemos que se produce un cambio de signo en $\tau = \frac{4}{\sigma^2}$ . Para niveles típicos de volatilidad - digamos el 20% - esto da $\tau \approx 100Y$ . Esto se confirma fácilmente con un gráfico rápido (he utilizado $\sigma=0.2$ , $r=q=0$ , $S=K=1$ ). Dado que la mayoría de los instrumentos negociados suelen vencer mucho antes de ese momento, esto justifica la creencia común de considerar que $\text{Vega}$ es "siempre" creciente.

En la segunda pregunta, estás viendo $C = f(\sigma)$ todos los demás parámetros son fijos cuando $C$ es el precio de una llamada al cajero automático. Su observación es que $C$ es una función lineal de $\sigma$ se debe al hecho de que este La conocida aproximación se mantiene bastante bien en la práctica para pequeños $\tau$ . Por supuesto, si se quiere obtener el resultado exacto, hay que volver a calcular la expresión de forma cerrada de la segunda derivada de $C$ con respecto a $\sigma$ (Volga o Vomma) y ver cuándo es significativa frente a la insignificante.