Merton cartera de inversiones problema de proporciones/peso >1 o <0?

Question

En el clásico de Merton de la cartera problema, supongamos:

$$ dX_t \, = \, \frac{\pi_t X_t}{S_t} S_t(\mu dt +\sigma dW_t) = \pi_t X_t (\mu dt +\sigma dW_t) $$

es decir: cero las tasas de interés para la simplicidad.

Tenemos HJB eqn:

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \sup_{\pi \in \mathcal{A} } \left( \pi x \mu \frac{\partial V}{\partial x} + \frac{1}{2} \pi^2 \sigma^2 x^2 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \right) = 0$$

Tengo que calcular el peso óptimo para los activos de riesgo a ser $$\pi^* = \frac{\mu}{x \sigma^2 \alpha} $$

Este es, por supuesto, constante, como Merton señala. Mi pregunta es:

Obviamente, la suma de pesos correspondientes a la proporción de la riqueza invertida en cada uno de los activos debe ser igual a 1, pero puede pesos ser >1 para un determinado activo o <0 en el marco de este modelo clásico?

por ejemplo: mu = 0.05, sigma = 0.2 y la aversión al riesgo alfa =1 conduce a la proporción de activos de riesgo de 1.25? Es esto válido?

Answer 1

Su declaración debe ser la correcta, los pesos en los activos de riesgo no están delimitadas entre el $0$ e $1$. Esencialmente, mediante el establecimiento $r=0$ omite el término que muestra que los pesos siempre se resumen en uno, simplemente eligiendo el peso de la libre de riesgo de los activos a ser $1-\pi^*$. En otras palabras, la obtención de $\pi^*>1$ simplemente implica que ir corto en el libre de riesgo de los activos. El riesgo de la búsqueda de inversores (bajo $\alpha$) se prioriza por los préstamos libres de riesgo y poner ese dinero en la bolsa.