optimización de la varianza media frente al máximo ratio de sharpe

Question

Sigo leyendo/oyendo que los resultados de la optimización de la media-var es el máximo ratio de Sharpe. Parece que tiene sentido si se fija la rentabilidad objetivo o el riesgo objetivo, pero en general, no parece correcto, por ejemplo, $J1$ y $J2$ son la función objetivo:

$J1 = \mu\prime w - \lambda w\prime\Sigma w.$

$J2 = (\mu\prime w)/\sqrt{w\prime\sigma w}$

La solución óptima de $J1$ y $J2$ debería ser muy diferente, porque $J1$ depende de lambda, $J2$ no lo hace, por no mencionar que las derivadas respecto a w son muy diferentes.

¿qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

En teoría, en el caso de una optimización restringida y en la práctica no lo son.

Sin embargo... Muchos profesionales quieren conseguir el mejor Sharpe Ratio para su cartera. Pero tal y como lo describes en J2 el término no es lineal ni cuadrático y es mucho más difícil de optimizar especialmente en el contexto de la multitud de restricciones que se darían en un marco típico de optimización de carteras

J1 es muy cuadrático, por lo que es mucho más fácil de optimizar. Y tiene esta buena propiedad de que querrías maximizar u'w y minimizar wSw, lo que se alinea en términos de objetivos conceptuales con la obtención del mejor ratio de Sharpe posible

Pero en realidad no son equivalentes y la J2 es muy poco práctica y rara vez se utiliza. Además, con J2 una cartera pasiva con 0 tracking error sería siempre la mejor solución en ausencia de otras limitaciones... Así que la gran mayoría de los profesionales utilizarían una variante de J1

Answer 2

No se encuentra una solución correcta porque, matemáticamente hablando, el problema no está bien planteado.

En primer lugar, en $J1$ parece que tienes en mente la ptf de riesgo puro mientras que en la $J2$ caso de que esto no sea posible. Para simplificar, se puede suponer que $r_f =0$ pero existe, de lo contrario el ratio de Sharpe no tiene ningún sentido.

Además, probablemente tengas en mente la versión sin restricciones, pero también en este caso tienes que tener en cuenta que en $J1$ como en $J2$ el caso de la restricción mínima $w’1=1$ se mantiene.

En tercer lugar, y quizá lo más importante, en $J1$ la estrategia de optimización le devuelve totalmente la frontera eficiente (a través de lambda) mientras que $J2$ devolverte sólo un punto. En este punto $w$ = tangente ptf.

El problema que, probablemente, tienes en mente está bien planteado si en $J1$ se añade el activo sin riesgo. En este caso $w$ es interpretable como el peso de los ptf de riesgo y $(1-w)$ como peso del activo sin riesgo. Entonces $w$ se convierte en única e igual a la tangente ptf como en $J2$ caso. Tengo la prueba pero no es corta y ahora está en algún cuaderno.