Solución para un SDE para una Fianza encuentra en Bugard & Kjaer

Question

Voy sobre el papel -Ecuación Diferencial Parcial de la Representación de los Derivados Bilateral para el Riesgo de Contraparte y de los Costes de Financiación- de Burgard y Kjaer. Existe el siguiente SDE es dado para un defaultable bond: $$ dP(t) = r(t)P(t)dt - P(t)dJ(t), $$ donde $r(t)$ es una adaptación del proceso, y $J(t)$ es un salto proceso que cambia de cero a uno en defecto del emisor de bonos.

Estoy tratando de resolver este SDE por la búsqueda de una forma cerrada fórmula para $P(t)$, donde yo estoy siguiendo la teoría dada en Steven Shreve del libro: -Cálculo Estocástico para la Financiación, Modelos de Tiempo Continuo- (Capítulo 11). Estoy intentando utilizar Ito fórmula para los saltos, pero estoy atascado. Consejos sobre cómo proceder formalmente a conseguir $P(t)$ de los SDE? Gracias de antemano.

Answer 1

Voy a asumir $$ J_t = \sum_{i=1}^{N_t} Z_i$$ be a compound Poisson process, with $(T_n)_{n\geq 1}$ being the jump times for Poisson process $(N_t)_{t\geq 0}$ and $(Z_i)_{i\geq 1}$ sequence of i.i.d. variables independent of $(N_t)_{t\geq 0}$.

Para la SDE

$$ dP_t = P_{t^-} dJ_t $$

nos damos cuenta de que en salta veces hemos

$$ dP_{T_i} = P_{T_i} - P_{T_i^-} = Z_{i} P_{T_i^-} $$

así

$$ P_{T_i} = (1+Z_i) P_{T_i^-} $$

A partir de aquí podemos concluir que:

$$ P_t = P_0 \prod _{i=1}^{N_t} (1+Z_i) $$

La adición de la deriva

$$ dP_t = r_t P_t dt + P_{t^-} dJ_t $$

da

$$ P_t = P_0 \mathrm{e}^{\int_0^t r_s ds}\prod _{i=1}^{N_t} (1+Z_i) $$

entre salto veces $P_t$ evoluciona como $ r_t P_t dt$ y se multiplica por $1+Z_{i}$ a $T_{i}$, comenzando con

$$ P_t = P_0 \mathrm{e}^{\int_0^t r_s ds} $$

para $t\in [0,T_1)$.

Answer 2

Como complemento a @ir7 integral de derivación, en el caso de Burgard y Kjaer el salto proceso de $J_t$ modelos de la impago del emisor. Se especializan en el proceso de establecimiento $Z_1=-1$, mientras que los valores de $\{Z_i:i\geq2\}$ son irrelevantes. Usted, a continuación, observe que, tan pronto como el proceso de saltos de una vez, el producto de saltar tamaños se convierte en nulo. Por tanto, tenemos: $$ P_t = P_0e^{\int_0^tr_sds}\mathbf{1}_{\{N_t=0\}} = P_0e^{\int_0^tr_sds}\mathbf{1}_{\{t<T_1\}} $$ donde $T_1$ es el valor predeterminado de tiempo de el emisor.