¿Es la tasa marginal de sustitución una función multivariable?

Question

Supongamos que tengo $U(x,y)$ y un conjunto nivelado de curvas de indiferencia. Supongamos que el valor de $U$ a lo largo de una curva determinada es $\bar{U}$ . Sabemos que $dU = 0$ . Calculamos la derivada total, reordenamos, y ahora tenemos

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{U_x}{U_y}$$

Mi confusión y pregunta:

$\frac{dy}{dx}$ se escribe como una función de una sola variable, ¿verdad? Pero cuando hablamos de $MU$ Siempre hablamos de ella como una función multivariable. Yo pensaba que $MRS$ era el análogo de utilidad ordinal de la utilidad cardinal $MU$ . Entonces, ¿por qué $MRS$ ¿una función de una sola variable?

Answer 1

$\frac{dy}{dx}$ se escribe como una función de una sola variable, ¿verdad?

No lo creo. Su notación taquigráfica debería significar

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{U_x(x, y)}{U_y(x,y}$$

y por lo tanto es una función de ambas variables ${x,y}$ . Eso tiene sentido, ya que su MRS podría depender del locus en el que se encuentre.

Answer 2

Tenemos la función

$$U = U(x,y)$$

a partir del cual creamos el ecuación

$$x^*,y^*: U(x^*,y^*) = \bar U$$

con $\bar U$ siendo fija una constante, y así $d\bar U = 0$ .

Entonces

$$dU(x^*,y^*) = d\bar U = 0 \implies U_x(x^*,y^*)dx^*+U_y(x^*,y^*)dy^* = 0$$

$$\implies \frac {dy^*}{dx^*} = -\frac {U_x(x^*,y^*)}{U_y(x^*,y^*)}$$

Dejando de lado la "Guerra Civil de los diferenciales" (matemática), no hay aquí ningún abuso de notación, sino una simplificación por razones de compacidad. ¿Por qué? $x^*$ y $y^*$ son soluciones a la ecuación no son variables libres de variar independientemente, por lo que en realidad tenemos $y^* = h(x^*,\bar U)$ y

$$\implies \frac {dh(x^*,\bar U)}{dx^*} = -\frac {U_x(x^*,h(x^*,\bar U))}{U_y(x^*,h(x^*,\bar U))}$$

NOTA: Este tipo de simplificaciones de la notación aparecen en todas las disciplinas que utilizan las matemáticas. Sin embargo, no siempre son beneficiosas: por ejemplo, M. Caputo en Fundamentos del análisis económico dinámico más que la mayoría escribe explícitamente todas las dependencias. Esto hace que la notación sea engorrosa y confusa al principio, pero una vez que se le coge el truco, nunca se está perdido.