La independencia de los incrementos de los procesos estocásticos $\frac{1}{t}\int_0^t u dW_u $

Question

Deje $X_t$ ser un proceso estocástico tal que

$$X_{t} =\frac{1}{t}\int_0^t u dW_u $$

Yo sé que para

$$Y_{t} =\int_0^t u dW_u$$ $Y_t-Y_s$ es independiente de $Y_s$ donde $t>s$. Pero es también cierto para $X_t$ que ha explícita dependencia del tiempo en ella? Editar La covarianza es $$E[X_tX_s] - E[X_s^2]$$

$$E[X_t X_s] =\frac{1}{ts} \cdot E\biggl[\int_t^s u dW_u \int_0^s u dW_u\biggr] +E\biggl[\int_0^s u dW_u \int_0^s dW_u\biggr] $$ La primera integral en la primera expectativa es el límite de la secuencia normal de las variables aleatorias que son independientes de la segunda, y por lo tanto la primera expectativa puede ser dividido y el uso de wiener propiedades de proceso se desvanece.

Answer 1

Tenga en cuenta que, para $t>s>0$, \begin{align*} X_t-X_s &= \frac{1}{t}\int_0^t udW_u - \frac{1}{s}\int_0^s udW_u\\ &=\frac{1}{t}\bigg(\int_s^t u dW_u + \int_0^s udW_u \bigg)- \frac{1}{s}\int_0^s udW_u\\ &=\frac{1}{t} \int_s^t u dW_u + \Big(\frac{1}{t} -\frac{1}{s}\Big)\int_0^s udW_u\\ &=\frac{1}{t} \int_s^t u dW_u - \frac{t-s}{t} X_s. \end{align*} Aquí, $\int_s^t u dW_u$ es independiente de $X_s$. Entonces \begin{align*} E\big((X_t-X_s) X_s \big) &= -\frac{t-s}{t} E\big(X_s^2\big) \ne 0. \end{align*} Que es, $X_t-X_s$ no es independiente de $X_s$.