Discontinua derivado de la rentabilidad de la aproximación

Question

Considere la posibilidad de un derivado de tipo digital que paga este tipo de rentabilidad en el tiempo $T$: \begin{align*} g(S_T,k) &= \begin{cases} P_0,~S_T>k \\ S_T, ~S_T\leq k \end{casos} \end{align*}

con $S_T$ siendo el precio actual del subyacente al vencimiento de tiempo de $T$, $P_0$ el precio del activo subyacente a la cuestión del tiempo 0 y $k$ - tipo de la huelga de precio con la barrera de la función.

Al parecer, la función de $g$ es discontinua en $S_T=k$ y tiene un salto allí. La idea es aproximar con un conjunto opciones, llame a $c(S_T,k_1)$ y poner $p(S_T,k_2)$ que tienen las huelgas: $k_1 < k < k_2$. Entonces, para la construcción de un lineal de la pieza-sabio función que tendrá un aspecto como el siguiente: $$ \hat g(S_T,k_1,k_2)=a_0+a_1 S_T+a_2 c(S_T,k_1) + a_3 p(S_T,k_2). $$

La pregunta es cómo obtener los coeficientes. Que complementarios ecuaciones pueden ser utilizadas?

Answer 1

Debemos ser capaces de replicar la rentabilidad exactamente en cada una de las dos regiones $S_{T}\leq k_{1}$ e $S_{T}\geq k_{2}$. De la primera, $$a_{0}+a_{1}S_{T}+a_{3}(k_{2}-S_{T}) =S_{T}$$ así, la coincidencia de los coeficientes, $a_{0}+a_{3}k_{2}=0$ e $a_{1}-a_{3}=1$. A partir de la segunda, $$a_{0}+a_{1}S_{T}+a_{2}(S_{T}-k_{1})=P_{0}$$ así, la coincidencia de los coeficientes, $a_{0}-a_{2}k_{1}=P_{0}$ e $a_{1}+a_{2}=0$.

Lo siento, no he de tiempo para comprobar que esto funciona. Espero que ayude.