Cobertura de la cartera y de la extracción de la PDE de SV modelo con tasa de interés estocástica

Question

¿Cómo puedo extracción de la PDE \begin{align*} 0 =& P_t+P_SS(r-\delta)+P_\sigma a(\sigma)+P_r\alpha (r,t) \\ +& \frac{1}{2}P_{SS}S^2\sigma ^2 + \frac{1}{2}P_{\sigma \sigma}b^2(\sigma)+\frac{1}{2}P_{rr}\beta^2(r) \\ +& P_{S\sigma}\sigma Sb(\sigma)\rho _{12}+P_{Sr}\sigma S\beta(\sigma)\rho _{13}+P_{\sigma r}\beta(\sigma)b(\sigma)\rho _{23}-rP \end{align*} para el precio de la opción $P(S,\sigma ,r ,t)$ desde estocástico sistema

\begin{align*} dS_t &= (r_t-\delta)S_tdt+\sigma _tS_tdW_t^{(1)} \\ d\sigma _t &=a(\sigma _t)dt+b(\sigma _t)dW^{(2)}_t\\ dr_t &= \alpha(r_t,t)dt+\beta (r_t)dW_t^{(3)} \end{align*} tal que $$ dW^{(i)}_tdW^{(j)}_t=\rho_{ij}dt $$ para la opción americana de fijación de precios ?

Answer 1

El PDE, que sólo se mantiene en la continuación de la región, en el excerise región, P es simplemente el pago de la función. Deje $\tau$ ser la primera vez que ingrese a la detención de la región, luego por la martingala de la propiedad de el precio de la opción hasta la primera parada, el tiempo de $$\mathbb{E}P(S_{t\wedge\tau},\sigma_{t\wedge\tau},r_{t\wedge\tau})e^{-r{t\wedge\tau}}=P(S_0,\sigma_0,r_0)$$

Aplicar ito fórmula para el lado izquierdo para obtener

$$P(S_{t\wedge\tau},\sigma_{t\wedge\tau},r_{t\wedge\tau})e^{-r{t\wedge\tau}}=P(S_0,\sigma_0,r_0)+\text{something dt}+\text{a local martingale} $$

Ahora se sustituye la última ecuación a la izquierda de la 1ª ecuación, tenga en cuenta la expectativa de la martingala local es 0, se queda con

$$\mathbb{E}\int^{\tau\wedge t}_0 ... \text{d}t$$

Ahora divida esto por $1/t$ y tomar el límite de $t\rightarrow 0$ y justificar el cambio de los límites adecuados. Tenga en cuenta que $\tau$ puede ser ignorada, ya $P(\tau<t)\rightarrow 0$ como se inicio en la región continua y el proceso es continuo.

Tenga en cuenta que esto es exactamente lo mismo que se obtendría si se tratar de una opción Europea.