Ahora estoy leyendo Alternativos de Caracterización de American Opciones Put por Carr et all (disponible en http://www.math.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf/amerput7.pdf). Existe un teorema denominado 'Principal de la Descomposición de la American Poner'.
Teorema 1 (Principal de la Descomposición de la American Put) Sobre la continuación de la región de $\mathcal{C}$, el Americano poner en valor, $P_0$, se puede descomponer en los correspondientes Europea ponga el precio, $p_0$, y el ejercicio anticipado de la prima, $e_0$: $$P_0=p_0+e_0$$ donde $$e_0=rK \int_{0}^{T} \exp{(-rt)} N\bigg( \frac{\ln{(B_t / S_0)}-e_2 t}{\sigma \sqrt{t}} \bigg)dt,$$ $$e_2=r-\frac{\sigma^2}{2}, \,$$ y $$N(x)=\int_{0}^{x} \frac{\exp{(-z^2/2)}}{\sqrt{2\pi}}dz$$ es la función de distribución normal estándar.
La prueba en el apéndice comienza con: Queremos demostrar que: $$P_0=p_0+rK \int_{0}^{T} \exp{(-rt)} N\bigg( \frac{\ln{(B_t / S_0)}-e_2 t}{\sigma \sqrt{t}} \bigg)dt.$$ Deje $Z_t \equiv \exp{(−rt)}P_t$ ser descontado ponga el precio, que se define en la región de $D \equiv \{(S, t) : S ∈ [0, \infty), t ∈ [0, T]\}$. En esta región, la fijación de precios función $P(S, t)$ es convexa en $S$ para todos los $t$, continuamente diferenciable en $t$ para todos los $S$, y un.e. dos veces continuamente diferenciable en $S$ para todos los $t$.
Mi pregunta es con respecto a la afirmación: "la fijación de precios función $P(S, t)$ es convexa en $S$ para todos los $t$". Se supone o podemos demostrarlo?
He leído la definición de convexidad de la función de http://mathworld.wolfram.com/ConvexFunction.html:
Una función convexa es una función continua cuyo valor en el punto medio de cada intervalo de su dominio no exceda de la media aritmética de los valores en los extremos del intervalo. Más en general, una función de $f(x)$ es convexa en un intervalo de $[a,b]$ si para cualquier par de puntos $x_1$ e $x_2$ en $[a,b]$ y cualquier $\lambda$ donde $0< \lambda <1$, $$f[\lambda x_1 + (1- \lambda x_2)] \leq \lambda f(x_1)+ (1- \lambda) f(x_2)$$
También he leído una pregunta en https://math.stackexchange.com/questions/112063/price-of-a-european-call-option-is-a-convex-function-of-strike-price-k pero no estoy seguro de si se puede aplicar a mi pregunta porque
(1). Supongo que el $P(S,t)$ en mi pregunta a la Americana poner en valor en lugar de la Europea,
(2). la pregunta en el enlace es sobre convexa de la función de precio de ejercicio mientras mi pregunta es sobre convexa de la función en $S$ en todos los $t$ (o son el mismo?), y
(3). convexo de la definición de la función conseguí parece diferente.
Alguien me puede ayudar a explicar por qué los $P(S, t)$ es convexa en $S$ para todos los $t$? Gracias.
