La ecuación diferencial estocástica para un subyacente, con saltos en el modelo de Merton es: $$d{{S}_{t}}=\mu \,{{S}_{t}}dt+\sigma \,{{S}_{t}}\,d{{W}_{t}}^{P}+(J-1){{S}_{t}}d{{q}_{t}}$$ donde
$t \quad\,\,\, \quad$ = tiempo
$S \quad\, \quad$ = Precio de las acciones subyacentes
$\mu\,\,\quad\quad$ = Tasa de desplazamiento
$\sigma\quad\,\,\quad$ = Volatilidad
$dW\,\,\quad$ = Incremento de Gauss-Wiener proceso
$dq\quad\quad$ = Proceso de Poisson
$J -1 \,\,\,\,\,$= Impulso de la función de producción de un salto de $S$ a $S\lambda$
$K\quad\quad$ = $E(\lambda -1)$ , espera relativa saltar tamaño
y
definir un proceso de Poisson $dq_t$ como sigue:
$$d{{q}_{t}}=\left\{ \begin{align} & 0\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,with\,probability\,\,1-\lambda (t)dt\, \\ & 1\,\,\,\,\,,\,\,\,\,with\,probability\,\,\,\,\,\,\,\,\lambda (t)dt\, \\ \end{align} \right.$$
donde $\lambda$ = de llegada de Poisson de intensidad
Suponemos que Gauss-Wiener proceso y los saltos son independientes. Basado en el SDE la resultante $PIDE$ por un contingente de reclamación $V(S,t)$ que depende del $S$ está dada por (Merton 1976): \begin{equation} \frac{\partial V}{\partial t}+(r-K \lambda )S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}-(r+\lambda )V+\lambda \,\int_{0}^{\infty }{g(J)V(J{{S}_{t}},t)\,}dJ=0 \end{equation} ahora quiero resolver esto $PIDE$ con algunos métodos numéricos como "Monte Carlo" , "Binomio Árbol ", etc. en orden a la fijación de precios de Opción Europea. Podría alguien dar o enseñar a mí útil e instructivo nota o algunas de las referencias que yo pueda aprender más de 3 métodos numéricos para la fijación de Precios de Opciones Europeo bajo el modelo de Merton ?
Agradezco cualquier ayuda.
