¿Cómo transformar los parámetros de Ornstein-Uhlenbeck de horarios a diarios?

Question

Obtengo los parámetros (media a largo plazo, volatilidad, velocidad de reversión de la media, correlación) de dos procesos Ornstein-Uhlenbeck correlacionados mediante una estimación de verosimilitud a partir de datos horarios. Si quiero transformarlos para utilizarlos para crear una simulación diaria -en lugar de horaria- (árbol o Monte Carlo), ¿qué tengo que hacer? Gracias de antemano.

Answer 1

Puede agregar sus datos horarios iniciales para obtener datos diarios y volver a estimar los parámetros, y luego simular. Alternativamente, con sus parámetros ya obtenidos, puede simular datos horarios y hacer una agregación posterior a la simulación para tener datos diarios.

Answer 2

Dejemos que $X^h$ sea su proceso horario

Dejemos que $X^d$ sea su proceso diario

Dejemos que $\delta$ ser un día

tienes

$$X^d_t=\frac{1}{\delta}\int_{t-\delta}^{t}X^h_s ds$$

$$dX^h_t = a(b-X^h_t)dt + \sigma dB_t$$

$$\Delta X^d_t := X^d_{t+\delta}-X^d_t =\frac{1}{\delta}\int_{t-\delta}^t\left(X^h_{u+\delta}-X^h_{u}\right)du$$

por lo que es una variable aleatoria gaussiana por los resultados conocidos en OU.

Se puede expresar y calcular $Cov(\Delta X^{d}_{k\delta},\Delta X^d_{j\delta})$

Así podrá concluir.

Detalles

por los resultados conocidos :

$$X^h_{t+\delta}-X^h_t=(b-X_{t})(1-e^{-a\delta})+\int_{t}^{t+\delta}e^{a(u-t)}dB_u$$

Así que..:

$$\begin{split} X^d_{t+\delta}-X^d_t &= (b-X^d_t)(1-e^{-2a\delta})+\int_{t-\delta}^{t}\frac{1}{\delta}\int_{u}^{u+\delta}e^{a(s-u)}dB_s du \\ & = (b-X^d_t)(1-e^{-2a\delta})+\int_{t}^{t+\delta}\frac{1}{\delta}\int_{u-\delta}^{u}e^{a(s-u+\delta)}dB_s du \\ \end{split} $$