Una explicación más rigurosa desde el punto de vista matemático de por qué, en el modelo B-S, la rentabilidad esperada de una opción de compra disminuye a medida que sube el precio de las acciones

Question

En un problema se pregunta si la siguiente afirmación es cierta asumiendo el Marco de Black-Scholes:

La rentabilidad esperada de una opción de compra aumenta a medida que sube el precio de las acciones.

La solución es:

La afirmación es falsa.

A medida que el precio de las acciones aumenta, la opción de compra se vuelve menos arriesgada, por lo que la rentabilidad esperada de la opción de compra disminuye.

A medida que el precio de las acciones disminuye, la opción de compra se vuelve más arriesgada, por lo que la rentabilidad esperada de la opción de compra aumenta.

Esperaba una respuesta más satisfactoria, por lo que me preguntaba cómo podría convencerme de ello matemáticamente.

Sabemos que $\gamma_\text{Call} = \Omega_\text{Call}(\alpha - r) + r$ , donde $\gamma_\text{Call}$ es la rentabilidad compuesta de forma continua de la Llamada y $\Omega_\text{Call}$ es la elasticidad de la Llamada.

También sabemos que $\Omega_\text{Call} = \frac{\Delta_\text{Call} \cdot S_0}{\text{Call Premium}}$ . Ahora en el modelo Black-Scholes, $\alpha$ y $r$ son constantes.

Así que creo que sólo tenemos que considerar $\Omega_\text{Call}$ .

Como $S_0 \rightarrow \infty$ , $\Delta_\text{Call} \rightarrow 1$ y $\text{Call Premium} \rightarrow \infty$ .

Del mismo modo, como $S_0 \rightarrow 0$ , $\Delta_\text{Call} \rightarrow 0$ y $\text{Call Premium} \rightarrow 0$ .

Así que creo que o bien tenemos una indeterminada de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$ .

Para la primera indeterminada, aplicando la regla de L'Hôpital (varias veces):

\begin {align*} \lim_ {S_0 \rightarrow \infty } \Omega_\text {Call} &= \lim_ {S_0 \rightarrow \infty } \frac { \Delta_\text S_0}{{contestado}{contestado}{contestado}{contestado}{contestado} \text {Llamada Premium}} = \lim_ {S_0 \rightarrow \infty } \frac { \Gamma_\text {Llamada} S_0 + \Delta_\text {Llamada}} \Delta_\text {Llamada}} \\ &= \lim_ {S_0 \rightarrow \infty } \frac { \Gamma_\text {Llamada} S_0 + 1}{1} = \infty.\end {align*}

Para la segunda indeterminada, aplicando la regla de L'Hôpital (varias veces):

\begin {align*} \lim_ {S_0 \rightarrow 0} \Omega_\text {Call} &= \lim_ {S_0 \rightarrow 0} \frac { \Delta_\text S_0}{{contestado}{contestado}{contestado}{contestado}{contestado} \text {Llamada Premium}} = \lim_ {S_0 \rightarrow 0} \frac { \Gamma_\text {Llamada} S_0 + \Delta_\text {Llamada}} \Delta_\text {Llamada}} \\ &= \lim_ {S_0 \rightarrow 0} \frac { \Gamma_\text {Llamada}} \Gamma_\text {Call}} = 1. \end {align*}

Así que, si mi trabajo es correcto, como $S_0 \rightarrow 0$ , $\Omega_\text{Call} \rightarrow 1$ y como $S_0 \rightarrow \infty$ , $\Omega_\text{Call} \rightarrow \infty$ .

Entonces, como $S_0 \rightarrow 0$ , $\gamma_\text{Call} = \Omega_\text{Call}(\alpha - r) + r \rightarrow \alpha$ y $S_0 \rightarrow \infty$ , $\gamma_\text{Call} = \Omega_\text{Call}(\alpha - r) + r \rightarrow \infty$ .

Esto parece ser lo contrario de lo que afirma el autor, así que no sé en qué me he equivocado.

Answer 1

Creo que casi lo has conseguido, pero has cometido algunos errores en la aplicación de la regla de l'Hopital.

Primer límite

En el primer caso, tienes

\begin {eqnarray} \lim_ {S_0 \rightarrow \infty } \Omega & = & \lim_ {S_0 \rightarrow \infty } \frac { \Gamma_ { \text S_0 + \Delta_ { \text llamada \Delta_ { \text \\ & = & \lim_ {S_0 \rightarrow \infty } \frac { \Gamma_ { \text S_0 + 1}{1} \end {eqnarray}

y usted parece concluir que $\lim_{S_0 \rightarrow \infty} \Gamma_{\text{call}} S_0 = \infty$ y por lo tanto $\lim_{S_0 \rightarrow \infty} \Omega = \infty$ . Sin embargo, esto no es cierto. Recuerde que

\begin {Ecuación} \Gamma_ { \text {call}} = \frac { \mathcal {N}' \left ( d_+ \right )}{S_0 \sigma \sqrt {T}} \end {Ecuación}

y por lo tanto

\begin {Ecuación} \lim_ {S_0 \rightarrow \infty } \Gamma_ { \text {llamada}} S_0 = \lim_ {S_0 \rightarrow \infty } \frac { \mathcal {N}' \left ( d_+ \right )}{ \sigma \sqrt {T}} = 0. \end {Ecuación}

En consecuencia, $\lim_{S_0 \rightarrow \infty} \Omega_{\text{call}} = 1$ como postula la solución de la muestra.

Segundo límite

Estoy de acuerdo contigo hasta el punto en que tienes

\begin {Ecuación} \lim_ {S_0 \rightarrow 0} \Omega_ { \text {call}} = \frac { \Gamma_ { \text S_0 + \Delta_ { \text llamada \Delta_ { \text \end {Ecuación}

lo que da lugar a un $0 / 0$ situación. Sin embargo, cuando ahora vuelves a aplicar la regla de l'Hopital, no aplicas la regla de la cadena correctamente y olvidaste diferenciar la gamma. Obtengo

\begin {Ecuación} \ldots = \lim_ {S_0 \rightarrow 0} \frac { \mathcal {S}_{ \text S_0 + 2 \Gamma_ { \text llamada \Gamma_ { \text \end {Ecuación}

donde uso $\mathcal{S}_{\text{call}}$ para denotar la tercera derivada con respecto al punto (la velocidad). Viene dada por

\begin {Ecuación} \mathcal {S}_{ \text {call}} = - \frac { \Gamma_ { \text llamada \left ( \frac {d_+}{ \sigma \sqrt {T}} + 1 \right ). \end {Ecuación}

Por lo tanto, obtenemos

\begin {Ecuación} \ldots = \lim_ {S_0 \rightarrow 0} \left\ { - \left ( \frac {d_+}{ \sigma \sqrt {T}} + 1 \right ) + 2 \right\ }. \end {Ecuación}

Ahora bien, como $\lim_{S_0 \rightarrow 0} d_+ = -\infty$ Esto da como resultado $\lim_{S_0 \rightarrow 0} \Omega_{\text{call}} = \infty$ como postula la solución de la muestra.

Answer 2

Mi opinión es diferente: en el marco de Black Scholes, el rendimiento esperado de todos los activos negociables es la tasa libre de riesgo. No importa cuál sea el precio de las acciones. Esto se debe a que el marco de Black Scholes es un ejemplo de un sistema de fijación de precios neutral al riesgo (uno en el que el activo subyacente tiene una distribución lognormal). Por lo tanto, la rentabilidad esperada de cualquier opción de compra es la tasa libre de riesgo.

Answer 3

Definiré la rentabilidad esperada como $\mathbb{E}\left[\frac{H(T)-V(0)}{V(0)T}\right]$ donde $V(0)$ es el precio actual de Black Scholes y $H(T)$ es la función de recompensa. La expectativa está bajo la medida del mundo real.

Desde $V(0)$ es conocido, el único elemento estocástico en la expectativa es el valor esperado del pago. Esto es $$S_0 e^{\alpha T} N\left(\hat{d_1}\right)-KN\left(\hat{d_2}\right)$$ donde $\hat{d_1}=\frac{log\left(\frac{S_0}{K}\right)+(\alpha+\sigma^2 /2 )T }{\sigma \sqrt{T}}$ y $\hat{d_2}=\hat{d_1}-\sigma \sqrt{T}$ . Uniendo las ecuaciones, la rentabilidad esperada es

$$\frac{S_0 \left(e^{\alpha T}N\left(\hat{d_1}\right)-N\left(d_1\right)\right)-K\left(N\left(\hat{d_2}\right)-e^{-rT} N\left(d_2\right)\right)}{\left(S_0 N\left(d_1 \right)-Ke^{-rT}N\left(d_2\right)\right)T}$$

A primera vista, esto parece confirmar que el valor esperado disminuye ya que el término que multiplica $S_0$ en el numerador será cercano a cero mientras que el término en el denominador se mueve bastante con $S_0$ .