Precios Cancelable de intercambio

Question

Considere la posibilidad de una primera hipótesis, de un swap. Parte 1 está pagando 6 meses Libor, semi-anual. Parte 2. paga $1+3*(\frac{Index_\color{red}{T}}{Index_0}-1) $ sólo en la madurez. Dicen que el nominal es de 1. $Index_t$ es el valor de cierre de algunas disponible públicamente índice.

Parte 2 tiene la opción de, en cualquier momento,$t < T$, para pagar $1+3*(\frac{Index_\color{red}{t}}{Index_0}-1) $ y al final del contrato.

Cómo iba yo a el precio de este contrato? Es apropiado decir que la libor pata del precio a la par en una fecha de reinicio y las relacionadas con el índice de la pierna, en el tiempo $s$ será valorada en $1+3*(\frac{Index_\color{red}{s}}{Index_0}-1) $ ?

Para mí, el hecho de que esta nota puede terminó en cualquier momento, hace un swaption y no podemos separar las dos piernas. La elección óptima de cuando acabe el contrato dependerá tanto del valor del índice y el valor de la tasa Libor. Supongamos que no teníamos datos de mercado en el Índice, como swaption vols etc, entonces, ¿cómo ir sobre la política de precios del intercambio?

Consideremos ahora una Segunda pregunta hipotética. Considerar sólo el segundo tramo del swap. Usted tiene la opción de elegir un momento $s$ donde $ 0 \leq s \leq T$, dónde se paga a la $1+3*(\frac{Index_\color{red}{s}}{Index_0}-1) $ . ¿Cómo puedo elegir el momento óptimo y ¿cuál es el valor de este contrato en algún momento $t_1$?

Podemos simplificar la rentabilidad de la $\frac{3}{Index_0}(Index_t - \frac{2*Index_0}{3})$,

que es como $scaling factor*(S_t-K) $

Supongamos que fijamos el tiempo de ejercicio, el tiempo en el que usted puede elegir pagar K y recibir $S_t$ sólo $t=T$, entonces esto se convierte en un contrato a plazo y el precio de un contrato a futuro, en $ t=t_1$ no es, ciertamente,$scalingfactor*(S_{t_1}-K)$.

En nuestro contrato, tenemos la opción de "hacer ejercicio" o para hacer el pago, en cualquier $t \in (0,T)$. Esto añade más flexibilidad para el valor de este contrato debe ser mayor que el de un delantero. ¿Cómo debo ir sobre los precios de este tipo?

Answer 1

En la segunda pregunta, usted tiene la opción de pagar $(S_t - K)$ a $t$ o $(S_T - K)$ a $T$. El valor en $t$ de decidirse a pagar ahora versus posterior es:

Valor en $t$ pagar $S_t - K$ a $t$ - Valor en $t$ de no pagar $S_T - K$ a $T$.

$$= -(S_t - K) + e^{-r(T-t)} (F(t,T) - K)$$

donde $F(t,T)$ es el precio a futuro del índice.

Ahora $F(t,T) = S_t e^{(r-d)(T-t)}$ donde $d$ es el div rendimiento del índice

así tenemos $$-(S_t - K) + e^{-r(T-t)} (S_t e^{(r-d)(T-t)} - K)$$

lo que viene a

$$S_t (e^{-d(T-t)} - 1) + K(1-e^{-r(T-t)})$$

el primer término es negativo y representa el hecho de que usted tiene que pagar entre divs $t$ e $T$ si el ejercicio temprano. El segundo término es positivo (suponiendo tasas positivas) y representa el valor de $K$ anterior. Por lo tanto, tenemos una solución de compromiso. Si divs son cero y las tasas son positivas, siempre ejercicio temprano. Si las tasas de interés son negativas, nunca ejercicio temprano. El mayor valor de hacer ejercicio temprano viene cuando las tasas de interés son altas y positivas, y que los dividendos son cero.

Answer 2

Otra toma en la pregunta 2: el valor del contrato a la que se habría dado por $V_0$:

$$\begin{align} V_0&=\min_{0\leq\tau \leq T}\mathbb{E}^Q\left[e^{-\int_0^{\tau}r(s)ds}(S_\tau-K)\right] \\[6pt] &=\min_{0\leq\tau \leq T}\left\{e^{-\int_0^{\tau}d(s)ds}S_0-e^{-\int_0^{\tau}r(s)ds}K\right\} \end{align}$$

Suponiendo un cero rentabilidad por dividendo y un constante tasa libre de riesgo:

$$\begin{align} V_0&=\min_{0\leq\tau \leq T}\left\{S_0-e^{-r \tau}K\right\} \\[6pt] &=1_{\{r>0\}}\left(S_0-K\right)+1_{\{r<0\}}\left(S_0-e^{-rT}K\right) \end{align}$$

Con estocástico de las tasas de $-$ dejando $P_{0,t}$ ser el precio de un bono cupón cero con vencimiento $t$:

$$\begin{align} V_0&=\min_{0\leq\tau \leq T}\left\{S_0-P_{0,\tau}K\right\} \\[6pt] & \Leftrightarrow \max_{0\leq\tau \leq T} P_{0,\tau} \end{align}$$

Las conclusiones son las mismas que @dm63: con tasas de interés positivas del ejercicio al iniciar el contrato $0$, mientras que con tasas negativas del ejercicio al vencimiento $T$.