Fijación de precios de los swaps compuestos

Question

Por lo que tengo entendido, un swap compuesto acumula los pagos individuales en un pago final que se convierte: $$ V(t_n) = N \prod_{i = 0}^{n-1}(1 + d_i L_i)-N $$

donde $d_i$ es la fracción de día para el período $t_i$ a $t_{i+1}$ y $L_i$ es el índice del mismo periodo y donde $N$ se deduce al final porque suponemos que no hay intercambio de nocionales.

Ahora, para valorar esto necesitamos calcular la expectativa de $V(T)$ bajo algún numéraire y medida apropiados, pero estamos tratando con productos de varios $L_i$ que, en general, no son mutuamente independientes, por lo que no es una simple cuestión de reemplazar con ellos hacia adelante.

¿Cómo se hace entonces? Una búsqueda en Internet sólo ha revelado fórmulas sencillas que utilizan los forwards. Un buen texto de referencia sería bienvenido.

Añadir 1

Siguiendo las sugerencias de los comentarios, si utilizo el numéraire ajustado a plazo con vencimiento igual a la fecha de pago $t_n$ y utilizando $P(t_i, t_{i+1}) = \frac{1}{1 + d(t_i,t_{i+1}) L(t, t_{i+1})}$ entonces me sale: $$ V(t) = P(t, t_n) \Bbb{E}^{Q^{t_n}} [V(t_n)|F_t] = N P(t, t_n) \left(\Bbb{E}^{Q^{t_n}} \left[\prod_{i=0}^{n-1} \frac{1}{P(t_i, t_{i+1})} | F_t \right]-1\right) $$

pero no estoy seguro de que esto me lleve a alguna parte.

Answer 1

Empecemos por su última ecuación, y centrémonos específicamente en la expectativa. Asumiendo que la fecha de finalización de cada periodo es el periodo de inicio del siguiente, la idea es simplificarla utilizando expectativas condicionales.

Desde $t < t_{n-2}$ podemos escribir utilizando la propiedad de la torre de las expectativas condicionales: $$ \begin{aligned} \Bbb{E}_{t}^{Q^{t_n}} \left[\prod_{i=0}^{n-1} \frac{1}{P(t_i, t_{i+1})} \right] &= \Bbb{E}_{t}^{Q^{t_n}} \left[\prod_{i=0}^{n-2} \frac{1}{P(t_i, t_{i+1})} \times \frac{1}{P(t_{n-1}, t_{n})} \right]\\ &= \Bbb{E}_{t}^{Q^{t_n}} \left[ \Bbb{E}_{t_{n-2}}^{Q^{t_n}} \left[ \underbrace{\prod_{i=0}^{n-2} \frac{1}{P(t_i, t_{i+1})}}_{\mathcal{F}_{t_{n-2}}-\text{measurable}} \times \frac{1}{P(t_{n-1}, t_{n})} \right] \right]\\ &= \Bbb{E}_{t}^{Q^{t_n}} \left[\prod_{i=0}^{n-2} \frac{1}{P(t_i, t_{i+1})}\times \Bbb{E}_{t_{n-2}}^{Q^{t_n}} \left[ \underbrace{\frac{P(t_{n-1}, t_{n-1})}{P(t_{n-1}, t_{n})}}_{\mathbb{Q}^{t_n}\text{martingale}} \right]\right]\\ &= \Bbb{E}_{t}^{Q^{t_n}} \left[\prod_{i=0}^{n-2} \frac{1}{P(t_i, t_{i+1})}\times \frac{P(t_{n-2}, t_{n-1})}{P(t_{n-2}, t_{n})} \right]\\ \end{aligned} $$

Podemos ver que el producto se reduce, ya que el término $P(t_{n-2}, t_{n-1})$ que apareció en el numerador se simplificará con el último término del producto. $$ \Bbb{E}_{t}^{Q^{t_n}} \left[\prod_{i=0}^{n-1} \frac{1}{P(t_i, t_{i+1})} \right] = \Bbb{E}_{t}^{Q^{t_n}} \left[\prod_{i=0}^{n-3} \frac{1}{P(t_i, t_{i+1})}\times \frac{1}{P(t_{n-2}, t_{n})} \right] $$ Repitiendo esta operación, el producto desaparece (suponiendo que en la fecha de fijación de precios $t$ el intercambio aún no comenzó, es decir..: $t < t_0$ ), y se obtiene: $$ \begin{aligned} \Bbb{E}_{t}^{Q^{t_n}} \left[\prod_{i=0}^{n-1} \frac{1}{P(t_i, t_{i+1})} \right] &= \Bbb{E}_{t}^{Q^{t_n}} \left[\frac{P(t_0, t_0)}{P(t_{0}, t_{n})} \right]\\ &= \frac{P(t, t_0)}{P(t, t_n)}\\ \end{aligned} $$

Este ratio también puede escribirse como un producto de los factores de capitalización utilizando el Libor a plazo de la siguiente manera: $$ \frac{P(t, t_0)}{P(t, t_n)} = \prod_{i=0}^{n-1} \frac{P(t, t_i)}{P(t, t_{i+1})} = \prod_{i=0}^{n-1} 1 + d(t_i, t_{i+1}) L(t, t_i, t_{i+1}) $$