Función de Densidad de probabilidad señal de problema cuando se utiliza el costo de una Llamada

Question

Dado el costo de una llamada $C_t = e^{-\int_t^Tr(s)ds}\int (s-K)^{+}\phi_{S_T}(T,s)ds$

sabemos que $$\frac{dC}{dK}=-e^{-\int_t^Tr(s)ds}\int_K^{\infty} \phi_{S_T}(T,s)ds$$

Ahora, cuando yo uso delta de dirac función de la propiedad $\int f(t)\delta(t-T)dt = f(T)$cuando se toma la segunda derivada con respecto a $K$ me parece un incómodas signo de menos que no sé de dónde mi calclulus está mal :

$$\frac{d^2}{dK^2}C=-e^{-\int_t^Tr(s)ds}\int \frac {d}{dK} H(s-K) \phi_{S_T}(T,s)ds$$

con $H$ el lado más pesado de la función, lo que da : $$\frac{d^2}{dK^2}C= -e^{-\int_t^Tr(s)ds}\int \delta(s-K) \phi_{S_T}(T,s)ds$$

$$\frac{d^2}{dK^2}C= -e^{-\int_t^Tr(s)ds}\phi_{S_T}(T,K)$$

y el derecho debe ser el resultado sin el signo de menos aquí. ¿De dónde me salen mal? Sé cómo encontrar el resultado correcto usando el indicador de la función, pero quiero usar la función delta de la propiedad aquí para derivar de ella. Alguna ayuda?

Answer 1

Tenga en cuenta que con $H(\cdot)$ la función de Heaviside $$\frac{d}{ds} H(s-K) = \delta(s-K)$$ pero $$\frac{d}{dK} H(s-K) = \color{red}{-}\delta(s-K)$$

También puede utilizar el Leibniz integral de la regla para escribir que $$\frac{d}{dK} \int_K^\infty \phi_{S_T}(T,s) ds = -\phi(S_T,K)$$

Answer 2

Sólo la regla de la cadena;

$\frac{d}{dK} H \left (S-K\right)=\delta \left (S-K\right) \frac{d}{dK} \left (S-K\right)=-\delta \left (S-K\right)$