¿Implica la CRRA-utilidad una mayor aversión al riesgo para una menor riqueza?

Question

Consideremos la función de utilidad $u(W)=\dfrac{1}{1-\gamma}W^{1-\gamma}$ donde $\gamma=0.5$

Dado que esta función mostrará una utilidad marginal decreciente de la riqueza, ¿es correcto afirmar que para cualquier nivel dado de riqueza $W_1$ la aversión al riesgo es mayor que para cualquier nivel de riqueza $W_2>W_1$ ? Mi intuición es la siguiente:

Dada una cantidad inicial de riqueza $W_I$ como la utilidad marginal de la riqueza es decreciente, la utilidad de una cantidad de riqueza ganada $W*$ debe ser superior al valor absoluto de la utilidad de perder $W*$ . (Al menos si no se gana instantáneamente)

Además, la utilidad marginal decreciente de la riqueza implica que perder riqueza con el tiempo es cada vez peor que ganar riqueza con el tiempo (en términos de utilidad), cuanto menor sea la riqueza inicial.

Por lo tanto, cada vez es peor perder una cantidad de $W*$ con el tiempo que ganar una cantidad de $W*$ a lo largo del tiempo cuando la riqueza inicial es $W_1$ en comparación con cuando la riqueza inicial es $W_2$ . Por lo tanto, la aversión al riesgo debería ser mayor para un nivel inicial de riqueza $W_1$ que para un nivel inicial de riqueza $W_2$ .

Además, sospecho que me falta una notación de tiempo en la función de utilidad, así que por favor ayúdame en la dirección de una función de utilidad más correcta si ese es el caso.

Answer 1

Depende de lo que entiendas por aversión al riesgo. La función de utilidad que mencionas se denomina "CRRA - Utilidad Relativa Constante a la Aversión al Riesgo". Como su nombre indica, tiene una aversión al riesgo relativa constante (pero no absoluta).

Cómo definen los economistas la aversión al riesgo:

Medida Arow-Pratt de aversión al riesgo absoluto (ARA) : \begin{equation} A(W) = -\frac{u''(W)}{u'(W)} = \frac{\gamma}{W} \end{equation}

Así que a medida que aumenta la riqueza disminuye la aversión al riesgo absoluto. O matemáticamente:

\begin{equation} \frac{\partial A(W)}{\partial W} < 0 \end{equation}

Medida Arow-Pratt de aversión al riesgo relativo (ARA) : \begin{equation} R(W) = -W \frac{u''(W)}{u'(W)} = \gamma \end{equation}

Sin embargo, la aversión al riesgo relativo es constante. Matemáticamente:

\begin{equation} \frac{\partial R(W)}{\partial W} = 0 \end{equation}