¿Por qué tenemos el corrimiento del cero al cambiar a una medida martingala?

Question

Me han dicho que esto es una consecuencia del teorema de Girsanov, aunque yo no ver cómo es.

Considere algunas modelo estándar con $dS_i = \mu S_i dt + \sigma S_i dW^P$. Deje $Q$ ser un equivalente a medida martingala. Entonces, se afirma que, debido al teorema de Girsanov, $dS_i = \sigma S_i dW^Q$.

Sin embargo, el teorema de Girsanov sólo es prueba de esto para una determinada medida $Q$ a los que define por primera introducción de una variable en particular $L$ se define en términos de otro proceso que se llama el núcleo. El$Q$, el cual es definido a través de este proceso puede ser muy diferente a la $Q$ hemos dado anteriormente, así que no entiendo cómo el teorema de Girsanov, se puede utilizar?

No deberíamos, en lugar de demostrar que, dado cualquier medida martingala $Q$, entonces siempre podemos determinar un núcleo que puede ser utilizado para definir esta medida $Q$ el uso de la receta en el teorema de Girsanov, y ENTONCES podemos usar Girsanov?

Answer 1

Como no explicar su notación: en Primer lugar tenga en cuenta que si $S$ denota el precio de proceso de un punto del activo (tales como un stock), entonces no es una martingala bajo el riesgo-neutral probabilidad de medida $\mathbb{Q}$. En lugar de eso, el precio con descuento proceso es una martingala bajo $\mathbb{Q}$.

El teorema de Girsanov es más general que sólo para encontrar la neutrales al riesgo probabilidad de medir. En el caso de un movimiento Browniano, se define como la deriva de los cambios en un equivalente a cambio de la medida. Se dice que cuando $W^{\mathbb{P}}$ es $\mathbb{P}$ el movimiento Browniano, entonces el proceso de

\begin{equation} W^{\mathbb{Q}}_t = W_t^{\mathbb{P}} - \int_0^t \lambda_u \mathrm{d}u \end{equation}

es un movimiento Browniano en $\mathbb{Q}$ define a través de la Radon-Nikodym derivados del proceso de

\begin{equation} \left. \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}} \right| \mathfrak{F}_t = \mathcal{E}_t \left( \int_0^\cdot \lambda_u \mathrm{d}W_u^{\mathbb{P}} \right). \end{equation}

Si entiendo tu pregunta correctamente, a continuación, consulte el proceso de $\lambda$ como el "núcleo". Estoy de acuerdo con usted en que el teorema de Girsanov no por sí mismo rendimiento que un neutrales al riesgo probabilidad de medir, pero sólo en virtud de una elección apropiada para el proceso de $\lambda$. Y, sí, cuando se quiere construir una martingala, que a menudo primero de búsqueda para el proceso de $\lambda$ y, a continuación, invocar el teorema de Girsanov para definir la correspondiente medida de cambio.