La superficie de volatilidad implícita y la opción Griega - ¿hasta qué punto es la información contenida en sus movimientos diarios la misma?

Question

¿Cuál es el vínculo entre la opción griega (es decir, vega, delta, gamma, theta) y los movimientos implícitos de la superficie de volatilidad (IVS)? ¿Podría decir que su "contenido de información" es el mismo, es decir, que de los movimientos de uno se podrían derivar los movimientos del otro en el mismo momento?

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Algunos antecedentes de por qué estoy haciendo esta pregunta:

Tengo dos conjuntos de datos de Optionmetrics:

• Un IVS interpolado (del SPY) como punto constante de tiempo de madurez (30,60,..180 días) y puntos constantes de Delta
• La opción se refiere a los datos griegos (vega, delta, gamma, theta) para una opción que está modelada para estar perpetuamente en el dinero y a 30 días de expiración.

La regresión de estos conjuntos entre sí, y también utilizando técnicas de componentes principales, revela que ambos conjuntos de datos son esencialmente la misma "información" (o podría decirse que tienen la misma variación).

Mi pregunta es si se debe a la forma en que la Optiometría maneja/interpola los datos o si esto es algo estructural y fundado en la teoría. Por eso pregunto lo anterior - me gustaría saber si hasta qué punto teóricamente esta similitud es también el caso.

Answer 1

Si quieres calcular el cambio de un griego, digamos Delta, a partir de un cambio en la volatilidad, necesitarías Vanna :

$$Vanna=\partial_\sigma\Delta=\partial_\sigma\partial_S C$$ , que bajo Black-Scholes se convierte en:

$$ Vanna=\left(\sqrt{T-t+\frac{1}{\sigma}}\right)\phi\left(d_1\right) $$

donde $\phi\left(\cdot\right)$ es la densidad normalizada y

$$ d_1=\frac{\ln\left(\frac{S}{K}\right)+\left(r+\frac{\sigma^{2}}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} $$ (de: Franke, J. Haerdle, W.K., Hafner, C.M., "Statistics of Financial markets - An Introduction", 2ª edición, Springer, 2008, pág. 110)

En consecuencia, el nuevo griego es aproximadamente: $\Delta_{t+1}\approx\Delta_t+Vanna(\sigma_{t+1})$

Como se puede ver, no es sencillo, pero en general sólo hay que derivar el griego correspondiente con respecto a $\sigma$ para encontrar la relación.

Answer 2

Gamma y delta están relacionados, en la medida en que gamma no es más que la segunda derivada (o delta) de la delta (primera derivada) del valor de la opción con respecto al precio.

Theta y vega están relacionados en la medida en que son la derivada del precio con respecto al tiempo (theta) y la volatilidad (vega) respectivamente. Pueden relacionarse mediante una "derivada cruzada" de la volatilidad con respecto al tiempo.