Precio de las acciones con descuento

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Demostrar que, con una probabilidad neutra de riesgo p, las acciones y la cuenta bancaria tienen la misma tasa media de crecimiento. En otras palabras, si $ S_0 , S_N $ son los precios iniciales y finales de las acciones y $B_0 , B_N $ los precios bancarios iniciales y finales, muestran que..:

$$ E[S_N / S_0 ] = E[B_N / B_0 ] = c $$

Pista: El precio de las acciones con descuento es una martingala bajo la P.

¿Podría explicarme cuál es el precio de las acciones con descuento?

Answer 1

Espero que no le importe que me sitúe en un tiempo continuo. El precio de las acciones con descuento en $T$ es $e^{-rT}S_T$ . Como sabes que es una martingala, tienes que $ \mathbf {E}^{ \mathbf {P}}[e^{-rT}S_T | \mathscr {F}_t] = e^{-rt} S_t$ cuando $t \leq T$ que puedes reescribir como $ \mathbf {E}^{ \mathbf {P}} \left [ \frac {e^{-rT}S_T}{e^{-rt} S_t} | \mathscr {F}_t \right ] = 1$ o $ \mathbf {E}^{ \mathbf {P}} \left [ \frac {S_T}{S_t} | \mathscr {F}_t \right ] = e^{r(T-t)}$ y $e^{r(T-t)}$ es pero $ \mathbf {E}^{ \mathbf {P}} \left [ \frac {B_T}{B_t} | \mathscr {F}_t \right ]$ . Finalmente, tomando $t=0$ te da la igualdad que buscas.

Answer 2

Deje que $S_t$ y $B_t$ ser respectivamente el precio de las acciones y el valor de la cuenta del mercado monetario en el momento $t$ . Luego $S_t/B_t$ se llama el precio de las acciones con descuento. Tenga en cuenta que \begin {alineado*} E \left ( \frac {S_N}{S_0} \right ) &= E \left ( \frac {S_N}{B_N} \frac {B_N}{B_0} \right ) \frac {B_0}{S_0} \\ &= E \left ( \frac {S_N}{B_N} \right ) E \left ( \frac {B_N}{B_0} \right ) \frac {B_0}{S_0} + Cov \left ( \frac {S_N}{B_N}, \frac {B_N}{B_0} \right ) \frac {B_0}{S_0}, \end {alineado*} donde $Cov(\,)$ es el operador de covarianza. Si el tipo de interés es determinístico, entonces \begin {alineado*} E \left ( \frac {S_N}{S_0} \right ) &= E \left ( \frac {S_N}{B_N} \right ) E \left ( \frac {B_N}{B_0} \right ) \frac {B_0}{S_0} \\ &= E \left ( \frac {B_N}{B_0} \right ). \end {alineado*} Sin embargo, si la tasa de interés es estocástica, esta conclusión puede no ser cierta.