Añadir una restricción no vinculante a la función objetivo

Question

Se trata de un problema de optimización con restricciones que se encuentra en la obra de Tirole Teoría de las finanzas corporativas . Mi pregunta no está relacionada con los detalles de este modelo, pero sólo para proporcionar un poco de contexto, estamos resolviendo el contrato óptimo para asegurar la financiación externa en un entorno con una costosa verificación del estado. $y(\hat{R})$ es la probabilidad de que no haya auditoría cuando los ingresos $\hat{R}$ se informa. El coste de las auditorías $K$ al prestamista. $w_0(\hat{R},R)$ es la recompensa para el prestatario en caso de que no haya auditoría, y $w_1(\hat{R},R)$ en caso de auditoría.

La función objetivo es: $$\max\limits_{y(\cdot),w_0(\cdot,\cdot),w_1(\cdot,\cdot)}\left\{\int_0^\infty w(R)p(R)dR\right\}$$

Está sujeta a la restricción de incentivo para que el prestatario declare los verdaderos ingresos $R$ : $$w(R)=\max\limits_{\hat{R}}\{y(\hat{R})w_0(\hat{R},R)+(1-y(\hat{R}))w_1(\hat{R},R)\}$$ y a la restricción del punto de equilibrio para los prestamistas que proporcionan $I-A$ al emprendedor. $$\int_0^\infty[R-w(R)-[1-y(R)]K]p(R)dR\geq I-A$$

Mi pregunta se refiere a lo siguiente. El autor argumenta que, dado que la segunda restricción se vincula en el equilibrio, se puede añadir a la función objetivo . El problema es entonces equivalente a minimizar los costes de auditoría esperados: $$K\left[\int_0^\infty[1-y(R)]p(R)dR\right]$$ con las dos restricciones anteriores . No entiendo por qué podríamos añadir la restricción vinculante a la función objetivo y encontrar un problema equivalente sujeto a las mismas restricciones. ¿Hay algún principio general de optimización que se me haya escapado por el camino? Gracias.

Answer 1

Para ilustrar lo que ha hecho Tirole, consideremos un entorno más sencillo.

Consideremos un problema de maximización de la utilidad sobre dos bienes, $x$ y $y$ . El consumidor tiene una función de utilidad $u(x,y) = f(x) + y$ , donde $f$ es estrictamente creciente y estrictamente cóncavo. El problema del consumidor es, pues, el siguiente

$$ \begin{align} \max_{x,y} &\quad f(x) + y \\ \text{s.t.} &\quad p_x x + p_y y \le m \end{align} $$

Dadas las condiciones de $f$ sabemos que la restricción presupuestaria debe ser obligatoria. Es decir, en cualquier solución del problema de maximización anterior, debe darse el caso de que

$$ p_x x +p_y y = m $$

Podemos reajustar la igualdad anterior a

$$ y = \frac{m - p_x x}{p_y} $$

Por tanto, podemos incorporar este hecho a nuestra función objetivo y utilizar la expresión derivada anteriormente para $y$ para reemplazarlo. Así, nuestro problema de optimización se convierte ahora en

$$ \max_x \quad f(x) + \frac{m - p_x x}{p_y}$$

que, en cierto modo, es un problema más sencillo, dado que ahora ya no tengo que preocuparme por las condiciones de Kuhn-Tucker. Las condiciones de segundo orden también son ahora mucho más fáciles de verificar.

Tirole hace algo parecido a esto. Utiliza el hecho de que una restricción es vinculante para simplificar la función objetivo expresando el objetivo en términos de la restricción vinculante.