Una medida única de riesgo neutral para el Movimiento Browniano

Question

Para un modelo geométrico estándar de movimiento Browniano de los precios de las acciones: $$ dS = a S dt + \sigma S dZ$$ podemos transformar el proceso para que esté bajo una medida de riesgo neutral: $$ dS = r S dt + \sigma S d \tilde {Z}$$ y por las referencias que encontré, esta medida de riesgo neutral es "única".

Si hacemos una transformación, digamos $$ dS = r S dt + \tau S d \hat {Z}$$ donde $ \tau $ es diferente de $ \sigma $ pero la ecuación de Black-Scholes fallará ya que hemos cambiado la volatilidad.

Sin embargo, para un modelo discreto, por ejemplo un modelo de árbol, si hay $n$ estados del mundo, entonces necesitamos $n-1$ activos más dinero en efectivo para determinar de manera única una medida de riesgo neutral.

Pregunta El modelo de movimiento Browniano en efecto tiene un número infinito de estados y un solo activo, entonces ¿de dónde viene la singularidad de la medida de riesgo neutral?

Answer 1

La singularidad de la medida de riesgo neutro proviene de la abundancia de activos negociables. Sea $B_t$ sea la cuenta del mercado monetario en el momento $t$ . Sea $Q_1$ y $Q_2$ sean dos medidas neutrales al riesgo. Entonces, para cualquier activo negociable $X$ con madurez $T$ , \begin{align*} E^{Q_1}\left(\frac{X_T}{B_T}\right) &= E^{Q_2}\left(\frac{X_T}{B_T}\right)\\ &=\frac{X_0}{B_0}. \end{align*} Para cualquier $A\in \mathcal{F}_T$ definimos un activo con una retribución $$\mathbb{I}_{A} B_T.$$ Tenga en cuenta que, esta operación no puede ser negociada en bolsa, sin embargo, puede hacerse en el mercado extrabursátil. A continuación, \begin{align*} Q_1(A) &= E^{Q_1}\left(\frac{\mathbb{I}_{A} B_T}{B_T}\right)\\ &= E^{Q_2}\left(\frac{\mathbb{I}_{A} B_T}{B_T}\right)\\ &= Q_2(A). \end{align*} Eso es, $Q_1=Q_2$ .

Answer 2

Esencialmente se reduce al hecho de que la variación cuadrática diádica de $W_t$ es $t$ con probabilidad 1 y cualquier cambio de medida tiene que preservar este hecho. Un cambio en la volatilidad violaría esta invarianza.

Answer 3

Sea M el número de activos subyacentes negociados en el modelo, excluyendo el activo libre de riesgo, y que R denota el número de fuentes aleatorias fuentes aleatorias. Genéricamente tenemos entonces las siguientes relaciones 1. El modelo está libre de arbitraje si y sólo si M R. 2. El modelo es completo si y sólo si M R. 3. El modelo es completo y libre de arbitraje si y sólo si M = R. El modelo de Black Scholes es completo y libre de arbitraje entonces la medida neutral de riesgo es única.