Informática óptima de esfuerzos

Question

Considere la siguiente función de coste:

$$c(e_1, e_2) = (\beta_1e_1 + \beta_2e_2)^2$$

El valor de la función es:

$$v = v_0 - [l_1(1-e_1) + l_2(1-e_2)]$$

¿Cómo puedo calcular el óptimo esfuerzos de $e_1$ e $e_2$, con $e_{i} \in [0,1]$ ? Me parece estar terminando en una incoherencia.

Si miro $v - c = v_0 - [l_1(1-e_1) + l_2(1-e_2)] - (\beta_1e_1 + \beta_2e_2)^2$, y luego tomar la derivada parcial con respecto a $e_1$ e $e_2$ respectivamente, obtengo:

$$\beta_1e_1^* + \beta_2e_2^* = \dfrac{l_1}{2\beta_1} = \dfrac{l_2}{2\beta_2}$$

Lo que me estoy perdiendo? ¿La inconsistencia simplemente significa que el óptimo esfuerzos son puntos de esquina?

Answer 1

Estás en lo correcto. El problema aquí es una solución de esquina.

Vamos a definir la combinación óptima $X^* = \beta_1e_1^* + \beta_2e_2^*$.

La primera derivada da

$$X^* = \dfrac{l_1}{2\beta_1}$$

mientras que el segundo da

$$X^* = \dfrac{l_2}{2\beta_2}$$

Que sólo puede ser verdad "por casualidad". Esto es, la existencia de un interior, la solución no puede ser asegurada para cada posible la parametrización permitido por el espacio de parámetros.

En realidad, si usted echa un vistazo a las dos funciones, esto es claro. La función de costo de generar lineal isoquants. Usted puede comprobar aquí. Esto es debido a que la función de costo es equivalente a $c = X^2$ e $X$ es una combinación lineal de ambos $e_1$ e $e_2$.

Del mismo modo, el valor de la función también se da lineal isoquants. Esto es debido a que la función tiene la forma $e_1 = a + be_2$.

Luego, el caso más probable es que el isoquants se unirá en un rincón. El interior de la solución pasa por casualidad. Observe que cuando este es el caso, cualquier interior solución es la óptima! El equilibrio que se establece entonces es infinito.