estocástico de la tasa de interés $r_t=x_t+y_t$

Question

Vamos $$dr_t=(\alpha(t)-\beta r_t)dt+\sigma dW_t$$ donde $\alpha$ no es proceso estocástico y $\beta$ e $\sigma$ son constantes. Podemos escribir el proceso de $r_t$ en forma $$r_t=x_t+y_t$$ donde el proceso de $x_t$ satisface $$dx_t=-\beta x_t dt+\sigma dW_t$$ y $y_t$ ser una función determinista. He utilizado Ito lema, pero no fue útil.

Gracias de antemano.

Answer 1

Por la costumbre factor de integración método, \begin{align*} r_t = r_0e^{-\beta t} + \int_0^t \alpha(s) e^{-\beta(t-s)}ds +\sigma \int_0^t e^{-\beta(t-s)}dW_s. \end{align*} Vamos \begin{align*} x_t &=\sigma \int_0^t e^{-\beta(t-s)}dW_s, \textrm { and}\\ y_t &=r_0e^{-\beta t} + \int_0^t \alpha(s) e^{-\beta(t-s)}ds. \end{align*} A continuación,$r_t = x_t + y_t$, por otra parte, \begin{align*} dx_t &= d\left(\sigma e^{-\beta t} \int_0^t e^{\beta s}dW_s \right)\\ &=-\beta \left(\sigma e^{-\beta t} \int_0^t e^{\beta s}dW_s\right)dt + \sigma dW_t\\ &=-\beta x_t dt + \sigma dW_t, \end{align*} y $y_t$ es una función determinista.