Estoy tratando de entender el hecho de que $e(p, v(p,y)) = y$. Hay una prueba en el texto Avanzados de la Teoría Microeconómica (Jehle y Reny) que establece lo siguiente:
Debido a $u(·)$ es estrictamente creciente en $R_n^+$, se alcanza un mínimo en $x = 0$, pero no alcanzar un máximo. Por otra parte, debido a $u(·)$ es continuo, el conjunto de $U$ de utilidad alcanzable los números deben ser de un intervalo. En consecuencia, $U = [u(0), u^b)]$ para $u^b > u(0)$, y donde la $u^b$ puede ser finito o $+∞$.
Para probar, arreglar $(p, y) ∈ R^{++}_n × R^+$. Sabemos $e(p, v(p, y)) ≤ y$. Nos gustaría mostrar en el hecho de que la igualdad debe mantener. Así que supongo que no, es decir, supongamos $e(p, u)<y$, donde $u = v(p, y)$. Tenga en cuenta que, por definición, de $v(·), u ∈ U$, por lo que $u<u^b$. Por la continuidad de $e(·)$ desde, por lo tanto, puede elegir $ε > 0$ lo suficientemente pequeño como para que $u + ε<u^b$, e $e(p, u + ε)<y$.
No entiendo el punto siguiente:
Tenga en cuenta que, por definición, de $v(·)$, $u ∈ U$, por lo que $u<u^b$.
$v(·)$ denota la utilidad máxima que puede ser alcanzada por los precios y la riqueza, y no veo por qué no podemos tener a $u = u^b$ tal que $u ≤ u^b$ desde $u^b$ puede ser finito. Lo que me estoy perdiendo aquí?
