Son Cobb-Douglas preferencias homothetic?

Question

Nuestra conferencia se define una preferencia para ser homothetic, si se cumple lo siguiente:

$$(x_1, x_2) \thicksim (y_1, y_2) \Leftrightarrow (kx_1, kx_2) \thicksim (ky_1, ky_2)$$

Cobb-Douglas preferencias pueden ser mostrados como alguna función de utilidad de la siguiente forma:

$$u(x_1, x_2) = x_1^a \cdot x_2^b$$ Por lo tanto: $$(x_1, x_2) \thicksim (y_1, y_2) \\ \Leftrightarrow x_1^a \cdot x_2^b = y_1^a \cdot y_2^b \\ \Leftrightarrow k^ax_1^a \cdot k^bx_2^b = k^ay_1^a \cdot k^by_2^b \\ \Leftrightarrow (kx_1, kx_2) \thicksim (ky_1, ky_2)$$

Con esta argumentación la Cobb-Douglas preferencias deben ser homothetic.

El artículo de la wikipedia sobre Homothetic preferencias sin embargo se define una preferencia para ser homothetic, si que puede ser representado por una función de utilidad y las siguientes es verdadera:

$$ u(kx_1, kx_2) = k \cdot u(x_1, x_2)$$ Y estoy seguro, que esto no es cierto para Cobb Douglas preferencias:

$$ u(kx_1, kx_2) = (kx_1)^a (kx_2)^b = k^{a+b} x_1^a x_2^b \neq k \cdot u(x_1, x_2)$$

Así que lo que me estoy perdiendo aquí? Son las definiciones no son equivalentes? No me calcular algo mal?

Answer 1

Tenga en cuenta que el artículo de la wikipedia es muy específica:

[...] se define una preferencia para ser homothetic, si que PUEDE ser representado por Una función de utilidad [...]

Se eligió una determinada función de utilidad para representar a su Cobb-Douglas preferencias. Sin embargo, hay infinitamente muchos otros. Todos monótona de las transformaciones de su función de utilidad representa las mismas preferencias. Tomar $$ \hat{u}(x_1,x_2) = \left(u(x_1,x_2)\right)^{\frac{1}{a+b}} = x_1^{\frac{a}{a+b}} \cdot x_2^{\frac{b}{a+b}}. $$ Como $\hat{u}$ es una transformación monotónica de $u$, que representa las mismas preferencias. Es sencillo comprobar que $\hat{u}$ llena la condición establecida en el artículo del wiki. Así que, de hecho, hay una utilidad de tal función, que también representa la preferencia, de ahí la preferencia es homothetic.