Problema de cálculo de Ito

Question

dado $S^1$ satisfacer la SDE $\quad dS_{t}^{1}=S_{t}^{1}((r+\mu)dt + \sigma dW_t), \quad S_{0}^{1}=1 $
y el activo seguro $S_{t}^{0}$ $\quad S_{t}^{0}:=e^{rt} \quad for \quad r\geq 0$

Q1.
cómo demostrar que $\quad Y_t:=log(S_{t}^{1})$
satisface $\quad dY_t=(r+\mu-\sigma^2/2)dt+\sigma d W_t \quad Y=0$ ,

Q2.
cómo encontrar una medida Q equivalente a P (utilizando el Teorema de Girsanov) tal que
$dS_{t}^{1}=S_{t}^{1}(rt+\sigma d W_{t}^{*})$

He probado la primera parte, ¿es correcta la derivación?

$\frac{ d S_{t}^{1}}{S_{t}^{1}}=(r+\mu)dt+\sigma dW_t$
$dY=d log(S_{t}^{1})$
por Ito
$d log(S_{t}^{1})=\ \frac{ d S_{t}^{1}}{S_{t}^{1}} + \frac{1}{2}(-\frac{1}{(S_{t}^{1})^2})(d S_{t}^{1})^2)=$ $=\ \frac{ d S_{t}^{1}}{S_{t}^{1}} + (- \frac{1}{2} \frac{(\sigma S_{t}^{1})^2)dt}{(S_{t}^{1})^2 }) = (r+\mu)dt + \sigma dW_t + (- \frac{1}{2} \sigma^2 dt) =(r+\mu-\sigma^2/2)dt+\sigma dW_t$

Estoy luchando con el cambio de medida, ¿podría alguien ayudar y explicar la idea y los siguientes pasos?

Answer 1

Para un intervalo de tiempo $[0,T]$ El teorema de Girsanov afirma que dado un proceso $\lambda$ tal que el proceso $U$ definido por $$dU_t = -\lambda_tU_tdW_t, \; U_0=1,$$ es un $P$ -martingale, entonces se puede definir una nueva medida $Q$ equivalente a $P$ por $$\frac{dQ}{dP} = U_T,$$ y un movimiento browniano estándar bajo $Q$ , $W^\star$ , por $$ dW^\star_t = dW_t + \lambda_tdt.$$ En su caso, si tomamos $$ \lambda_t = \mu/\sigma \; \forall t \in [0,T],$$ entonces $U$ es de hecho $P$ -martingale (no drift) y $W^\star$ definido por $$ dW^\star_t = dW_t + \mu/\sigma dt$$ es un movimiento browniano estándar bajo $Q$ .

Ahora podemos reescribir $S^1$ de la siguiente manera (sin Ito): $$ dS^1_t = (r+\mu)S^1_tdt + \sigma S_t^1 dW_t $$ $$ = rS^1_tdt + \sigma S^1_tdW^\star_t. $$

Por último, hay que tener en cuenta que $Q$ es una medida interesante, una llamada EMM (medida de martingala equivalente) con numerario $S^0$ ya que equivale a $P$ y $S^1/S^0$ (desinflado $S^1$ ) es un $Q$ -martingale. En efecto, utilizando Ito-Leibniz, vemos que $S^1/S^0$ no tiene deriva bajo $Q$ :

$$ d(S^1_t/S^0_t) = \sigma S^1_t/S^0_t dW^\star_t. $$

Answer 2

Para Q2 , dejemos que $\lambda = \mu/\sigma$ . Además, definimos la medida $Q$ en $(\Omega, \mathcal{F})$ tal que \begin {align*} \frac {dQ}{dP} \big |_{ \mathcal {F}_t} = \exp\Big (- \frac {1}{2} \lambda ^2 t - \lambda W_t \Big ), \mbox { para } t \ge 0. \end {align*} Entonces, por el teorema de Girsanov, $W^*$ , donde \begin {align*} W_t^* = \lambda t + W_t, \end {align*} es un movimiento browniano estándar bajo la medida $Q$ . Además, en $Q$ , \begin {align*} dS_t^1 &= S_t^1 \big [(r+ \mu )dt + \sigma dW_t \big ] \\ &= S_t^1(rdt + \sigma dW_t^*). \end {align*}