Cobertura de una opción sobre un activo no cotizado en el mundo BS

Question

He dado la siguiente tarea dada.

Supongamos que se encuentra en un mundo Black-Scholes en el que tiene los activos estándar $$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$ $$ dB_t = r B_t dt $$ y ahora también tienes un activo no financiero $$ dY_t =\alpha dt + \beta dW_t $$ donde el proceso de Wiener $dW_t$ impulsa tanto a S como a Y.

Dé la función de precios en el momento t=0 para una opción con el pago $X=S_T * (Y_T)^2$

Mi enfoque habría sido tomar $S_T$ como numerario para obtener:

$$ \Pi_o[X] = S_0 E^{Q^S} \left[ S_T \frac{(Y_T)^2}{S_T} \right] = S_0 E^{Q^S} \left[ (Y_T)^2 \right] $$

Entonces tengo que derivar el $Q^S$ dinámica de $Y_t$ . Primera transformación $S_t$ y $Y_t$ a la medida neutral de riesgo $Q$ me da

$$ dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t^{Q} $$

$$ dY_t = \left\lbrace \alpha + \beta \left( - \frac{ \mu - r }{\sigma} \right) \right\rbrace dt + \beta dW_t^{Q} $$ Entonces, pasando de $Q$ a $Q^S$ me da $$ dS_t = (r * \sigma^2) S_t dt + \sigma S_t dW_t^{S} $$ $$ dY_t = \left\lbrace \alpha + \beta \left( - \frac{ \mu - r }{\sigma} + \sigma \right) \right\rbrace dt + \beta dW_t^{S} $$

Ahora tengo la dinámica de $Y_t$ en $Q^S$ pero no sé cómo seguir ya que hasta ahora he ignorado por completo que $Y_t$ es un activo no cotizado, por lo que no puedo utilizar el argumento de la réplica de BS...

Answer 1

Para los siguientes pasos, es necesario utilizar $dY$ es el lugar de $dW$ en todas partes en la expresión de $dS$ . De hecho, cuando se replica el pago de una opción vainilla utilizando el subyacente, es simplemente porque la correlación entre el subyacente y su contraparte negociable es igual a 1. Por casualidad en su caso la correlación entre una simple transformación de $dS$ y $dY$ también es 1, por lo que la dimensión de sus subyacentes no es 2 sino 1: todo puede expresarse en función de $dW$ y $dY$ sólo.