¿Cuál es el razonamiento que se derivan de este modelo financiero llamado el Modelo de Vasicek?

Question

El modelo especifica que la instantánea de la tasa de interés sigue la ecuación diferencial estocástica

$$\mathrm{d}r_t = a(b-r_t)\: \mathrm{d}t + \sigma \: \mathrm{d}W_t$$

donde $W_{t}$ es un proceso de Wiener bajo el riesgo neutral marco de la modelización del azar factores de riesgo de mercado, en que los modelos de la continua afluencia de aleatoriedad en el sistema. La desviación estándar del parámetro, $\sigma$, determina la Volatilidad (finanzas) de la tasa de interés y en una manera que caracteriza a la amplitud de la instantánea de la aleatoriedad del flujo de entrada. La típica de los parámetros b, a y $\sigma$, junto con la condición inicial $r_0$, completamente caracterizar la dinámica, y puede ser caracterizada de la siguiente manera, suponiendo que un ser no negativo:

• $b$: "a largo plazo, nivel medio". Todas las futuras trayectorias de $r$ se desarrollará en torno a una media de nivel b, en el largo plazo;
• una: "la velocidad de reversión". una caracteriza a la velocidad en que tales trayectorias va a reagruparse en torno a b en el tiempo;
• $\sigma$: "instantáneo volatilidad", medidas instante por instante en que la amplitud de la aleatoriedad de entrar en el sistema. Mayor $\sigma$ implica que más de aleatoriedad

A partir de la descripción de la Wikipedia

¿Qué es la matemática razonamiento detrás de esta fórmula para el profesional de las finanzas para introducir este?

Answer 1

El original de Vasicek de papel es "Un modelo de equilibrio de la estructura a plazo". Si se busca en google, usted encontrará que usted puede leer en sus propias palabras, su motivación para el desarrollo de la misma. En particular, lo que ahora se llama el modelo de Vasicek básicamente proviene de la aplicación de sus resultados a una de Ornstein-Uhlenbeck modelo para el proceso, la cual dice que fue propuesto por Merton en 1971, en "su momento Óptimo de Consumo y Cartera de Reglas en un tiempo Continuo de la Mode", que es otra referencia, se puede rastrear en google. La referencia más clara en allí, dice que:

"El primer término en (120) implica un compromiso a largo plazo, regresivo de ajuste de la tasa esperada de retorno hacia la "normalidad" de la tasa de retorno.... Voy a llamar a la asunción de un mecanismo de precios descrito por (119) y (120), el "De Leeuw" hipótesis " de Frank De Leeuw el primero que introdujo este tipo de mecanismo para explicar el comportamiento de la tasa de interés."

No podía seguimiento de una referencia específica hacia abajo más allá de eso. Creo que una gran parte de la respuesta de por qué la gente como el modelo es una combinación de analítica tratabilidad y obvio propiedades cualitativas (es decir, de reversión a la media, lo que significa que las tasas de interés a niveles ", no puede seguir corriendo") que son consistentes con el comportamiento esperado de las tasas de interés.

Answer 2

Creo que la razón detrás de esto es que si $r$ es la tasa de corto, el precio de los bonos es $P(t,T) = \mathbf{E}e^{- \int_t^T r_s ds }.$ Como es bien sabido por saber es fácil calcular las expectativas de las variables aleatorias de la forma $e^Z$ donde $Z$ es Gaussiano.

Este modelo es el ejemplo más simple de un caso en el que la integral de la tasa de corto como de la distribución Gaussiana. Por supuesto que tiene el bruto desventaja de permitir a tasas negativas en cualquier momento dado con probabilidad positiva, y, finalmente, tasas negativas con probabilidad 1.