Analítica soluton para el Black-Scholes ecuación con una modificación de la Opción Call Europea

Question

Por favor, considere las siguientes modificado Opción Call Europea

donde $ 0 < a \leq 1$. Al $a = 1$ la modificación de la opción call Europea se reduce a la norma opción call Europea.

La transformación de la Black-Scholes ecuación en el estándar de la ecuación del calor y el uso de la transformada de Fourier, yo soy la obtención de la siguiente solución analítica para la modificación de dichos opción call Europea (por favor hacer clic derecho en la imagen para ampliarla)

Al $a=1$ el estándar de la fórmula Black-Scholes para la habitual opción call Europea se recupera, es decir,

Mis preguntas son:

1. ¿Conoces algún método para derivar la solución para la modificación de los Europeos Cal opción.

2. ¿Conoces casos de la vida real en la que una modificación de opciones Call Europeas se aplican.

Answer 1

Cuando un pay-off es un modelo lineal por tramos más saltos, es el mismo que el de la cartera de llamadas y llamadas digitales. Su precio debe estar de acuerdo con eso de la cartera de no arbitraje. Cada vez que hay un salto añadimos en una llamada digital y cada vez que hay un cambio en el gradiente añadimos en llamadas igual al gradiente de cambio.

Aquí tenemos una llamada golpeado en $K$. Justo debajo de $2K$ la opción paga $K$ y por encima de él paga $a K.$ Tenemos $(a-1)$ digital llamadas golpeado en $aK$ e $(a-1)$ llamadas así para obtener el gradiente de cambio a $a.$

Añadir la de BS fórmulas para los tres contratos para obtener el precio en el modelo BS.

Answer 2

Voy a tratar de derivar a partir de la cero de la siguiente manera: Definir los tres indicadores variables aleatorias para los tres eventos: $1_A$ es igual a 1 si el evento ${2K<S_T}$ sucede,$1_B$ es igual a 1 si el evento ${K\leq S_T \leq 2K}$, e $1_C$ como el indicador para el resto de eventos.

Si existe un factor de descuento estocástico $M_t$ que los precios de las acciones y de bonos, entonces tenemos

$\begin{align} p_t &= E_t[M_T\{a(S_T-K) \cdot 1_A+(S_T-K) \cdot 1_B\}] \\ &= aE_t[M_TS_T1_A]-aE_t[M_TK1_A]+ E_t[M_TS_T1_B]-E_t[M_TK1_B]\\ &=a(Prob^s(A)-Prob^R(A)) + Prob^s(B)-Prob^R(B) \end{align}$

Donde $Prob^S$ e $Prob^R$ es la probabilidad de estos eventos en las medidas con numeriare de la bolsa de valores (suponiendo que no paga dividendos) y el dinero de la cuenta de mercado respectivamente. Estas probabilidad son bastante fáciles de calcular.

Answer 3

El uso de la costumbre de arbitraje argumentos, podemos escribir la opción de precios de descuento en las expectativas de los futuros valores de bajo riesgo-neutral probabilidades. Que es $$ V(S,0) = B(0,T) E\left[ V(S,T) \right] $$

Empezar por re-escribir su rentabilidad como la siguiente suma $$ C_K+aC_{2K}+KD_K $$ donde $C_x$ es una llamada golpeado en $x$ e $D_x$ es una opción digital golpeado en $x$.

Dado que la expectativa es un operador lineal (es decir,$E[aX+bY] = aE[X]+bE[Y]$) entonces podemos escribir el valor de la opción, puede utilizar el estándar de Black-Scholes fórmulas de $BS_{Call}(\cdot)$ e $Digital_{Call}(\cdot)$ como

$$ V(S,0) = BS_{Llamar a}(K) + a\,BS_{Call}(2K) + K\,Digital_{Llamar a}(K) $$

Más generalmente, $any$ no patológicas, la terminal de rentabilidad $P(S_T)$ puede ser escrita en términos de una finito (o la convergencia infinito) suma de estándar de llamadas y pone, o de llamadas digitales y pone.

La linealidad de la expectativa de usuario y a continuación nos dice que el valor actual $V(S_0)$ de que la rentabilidad es también una convergencia infinito suma.

A partir de una teoría de la medida punto de vista, esto sucede debido a que las funciones lineales (y de paso las funciones) proporcionar una base para el espacio de (no patológica) rentabilidad funciones.