Supuesto de riqueza suficiente en las preferencias casi lineales

Question

Siempre que hablamos de preferencias casi lineales, suponemos que el consumidor es suficientemente rico. Por lo que tengo entendido es que necesitamos esa suposición para obtener una solución interior. Pero, ¿cuál sería la intuición económica detrás de esa premisa? ¿Es que el consumidor no consumiría nada del bien no lineal en caso de riqueza insuficiente?

Answer 1

Esto depende de las preferencias exactas, pero normalmente la función de utilidad $$ U(x,y) = v(x) + y $$ es tal que $$ \lim_{x \to 0} |MRS(x,y)| = \lim_{x \to 0} \frac{\text{d}v(x)}{\text{d} x} = \infty. $$ En este caso se trata del consumo de una unidad marginal adicional del bien no lineal $x$ que es infinitamente útil en comparación con el consumo de una unidad marginal adicional del bien lineal $y$ . Por lo tanto, el consumidor consumirá algunas unidades de $x$ antes de comprar cualquier $y$ . Si el consumidor no es "suficientemente rico", la solución de la esquina será tal que $x > 0$ , $y = 0$ .

Answer 2

¿Es que el consumidor no consumiría nada del bien no lineal en caso de riqueza insuficiente?

No, es exactamente al revés.

La función de utilidad en el caso de dos bienes tendrá la siguiente forma:

$$U(x,y)=u(x)+y$$

Suponemos que $u'(x)>0$ y $u''(x)<0$ o utilidad marginal de $x$ está disminuyendo en $x$ . $MU_y$ mientras tanto es constante. Otra suposición que a menudo no se indica explícitamente es que $\frac{MU_x}{p_x}>\frac{MU_y}{p_y}$ para algunos $x$ . En palabras: Hay un cierto rango de $x$ valores en los que la utilidad marginal de un dólar gastado en $x$ supera la utilidad marginal de un dólar gastado en $y$ . Ahora bien, como sabemos $MU_x$ está disminuyendo en $x$ sabemos que la desigualdad anterior se cumplirá cuando el consumidor consuma una cantidad relativamente pequeña de $x$ .

Ahora bien, si suponemos que el presupuesto es muy grande, sabemos que el lado izquierdo de la desigualdad se hace cada vez más pequeño mientras que el lado derecho permanece constante a medida que el consumidor consume cada vez más $x$ . Debido a la disminución de $MU_x$ llegará un momento en que un dólar gastado en $y$ generará al menos tanta utilidad como un dólar gastado en $x$ . Cuando llegue este momento (el consumo de $x$ en el que $\frac{MU_x}{p_x}=\frac{MU_y}{p_y}$ ), el consumidor pasará a consumir $y$ con el resto de su presupuesto.

Sin embargo, cuando el consumidor tiene un presupuesto reducido, nunca alcanzará el punto en el que se cumple la igualdad anterior, es decir, se queda consumiendo $x$ en una cantidad para la que $\frac{MU_x}{p_x}>\frac{MU_y}{p_y}$ Este es el caso de la riqueza insuficiente. En este caso el consumidor sólo consume el bien no lineal, en este caso denotado por $x$ .